Tw lindenberga levyego

[raczka555]

Niech \(\displaystyle{ (x_1,x_2,...,x_n)}\) będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o jednakowym rozkładzie jednostajnym na przedziale (0,1). Korzystając z tw Lindenberga-Levyego oblicz \(\displaystyle{ P(S_{100}\ge 55)}\) gdzie \(\displaystyle{ S_{100}}\) jest sumą stu pierwszych wyrazów tego ciągu.

W zeszycie mam rozwiązanie, którego nie łapię:
\(\displaystyle{ E(S_{100})=50 \\ Var(S_{100})= \frac{100}{12}}\)
i właśnie nie wiem skąd ta wariancja i wartość oczekiwana...

a później jest
\(\displaystyle{ Y= \frac{S_{100}-50}{ \frac{10}{\sqrt{12}} } \\
S_{100}= \frac{10}{\sqrt{12}}Y-50 \\
P(Y\ge 1,73)= \frac{\sqrt{12}}{2}}\)
i nie wiem właśnie skąd się wzięła ostatnia linijka, przecież mamy obliczyć \(\displaystyle{ P(S_{100}\ge 55)}\) czyli \(\displaystyle{ P(\frac{10}{\sqrt{12}}Y-50\ge 55)=P(Y\ge \frac{105\sqrt{12}}{10}=P(Y\ge 36,373)}\)
nawet jeśli to jest dobrze, to potem nie wiem jak mam to obliczyć, bo w tabeli nie ma warości \(\displaystyle{ F(36,373)}\)

[janusz47]

1) Ze wzorów na wartość oczekiwaną i wariancję dla dyskretnego rozkładu jednostajnego
\(\displaystyle{ E(X) = \frac{n}{2} , Var(X) = \frac{n(n+2)}{12}}\)

2) Zgodnie z twierdzeniem Lindenberga-Levye'go - w mianowniku zmiennej losowej stadaryzowanej \(\displaystyle{ Y}\) występuje odchylenie standardowe - pierwiastek kwadratowy z wariancji.

3) Rozwiązanie tego zadania powinno wyglądać nastepująco:
\(\displaystyle{ Pr\left( S_{100} \geq 55 \right) = Pr\left( \frac{S_{100} - 50}{\frac{100}{\sqrt{12}}} \geq \frac{55- 50}{\frac{100}{\sqrt{12}}} \right)=P\left ( Y \geq 0, 173 \right)=}\)
\(\displaystyle{ = 1- P( Y <0, 173 )=1- \phi(0,173).}\)
Z tablic dysrybuanty standaryzowanego rozkładu normalnego odczytujemy
\(\displaystyle{ \phi(0,173) = 0,5675.}\)
\(\displaystyle{ Pr\left( S_{100} \geq 55 \right) = 1 - 0,5675 =0,4325}\)