Warunkowa wartośc oczekiwana - rozkład wykładniczy.

[tometomek91]

Niech \(\displaystyle{ X,Y \sim \mathcal{E}(1)}\). Znajdź \(\displaystyle{ E \left( \frac{1}{X} | Y \right)}\).

[Alef]

To w ogóle można precyzyjnie wyznaczyć przy takich założeniach?

\(\displaystyle{ E \left( \frac{1}{X} | Y \right)=E \left( \frac{1}{X} | \sigma(Y) \right)}\) jest warunkową wartością oczekiwaną względem sigma algebry generowanej przez \(\displaystyle{ Y}\). Gdyby \(\displaystyle{ \sigma(Y)}\) miała pewną szczególną postać to można by było wyznaczyć WWO ale tak? Nie wiem...


EDIT: Jakbyśmy potrafili wskazać rozkład łączny wektora \(\displaystyle{ (X,Y)}\) to może by się dało znaleźć WWO.

[tometomek91]

\(\displaystyle{ \sigma(y)}\) ma pewną szczególną postać. Są to zbiory postaci \(\displaystyle{ (t, \infty)}\) dla \(\displaystyle{ t>0}\).

Zapomniałem dodać, że są niezależne, czyli znamy rozkład łączny.

A mógłbyś podać sposoby jak znaleźć taką WWO?
Mam kilka pytań:
1) Jak znaleźć WWO z definicji?
2) Jak znaleźć WWO wykorzystując do tego fakt, że istnieje \(\displaystyle{ h}\) borelowska taka, że \(\displaystyle{ E(X|Y)=h(Y)}\)?
3) Jak znaleźć WWO wykorzystując wzór
\(\displaystyle{ E(X|Y)=\frac{1}{P(A)} \int_A X dP}\), gdzie \(\displaystyle{ A \in \sigma(Y)}\) dowolny?
4) Jak znaleźć WWO przez tzw. rozwłóknienie? Tzn. zadanie miary na zbiorze miary zero i policzenie całki po takim zbiorze? Słyszałeś może o czymś takim?

[Alef]

Chyba nie będę za bardzo pomocny:

Ad. 1. Nie spotkałem się z czymś takim.

Ad. 2. Nie spotkałem się z czymś takim.

Ad. 3. Bardzo łatwo - spójrz do książki Jakubowski, Sztencel (białej) - jest tam przykład, nie będę Ci go przepisywał na forum. Z tym, że wówczas muszą być spełnione pewne założenia o których wspomniałem w poprzednim poście pisząc szczególna postać sigma ciała.

Ad.4. Nie spotkałem się z czymś takim. A szkoda, poszukam!

Ad. 5. Jak masz gęstość łączną rozkładu to też można łatwo wyliczyć WWO - spójrz do książki Jakubowski, Sztencel (białej).

Generalnie WWO jakiejś zmiennej losowej X względem sigma ciała które znasz jest to nowa zmienna losowa Z o tej własności, że jest mierzalna względem sigma ciała które znasz, całkuje się dokładnie tak samo jak X na zbiorach z sigma ciała które znasz. Z Tw Radona Nikodema można pokazać, że WWO X względem sigma ciała jest wyznaczona jednoznacznie (tzn. istnieje dokładnie jedna zmienna losowa Z spełniająca powyższe dwa warunki (z dokładnością do zbiorów miary zero)). Oznacza to, że jak masz jakąś zmienną X i masz jakieś sigma ciało to zawsze możesz aproksymować tę zmienną losową jakąś nową zmienną losową Z, mierzalną względem Twojego sigma ciała. Twoja WWO, a więc Z, jest aproksymacją X więc musi jakoś przybliżać X i o to chodzi w drugim warunku definicji WWO. Błąd jaki popełniasz biorąc zamiast X nową zmienną losową Z jest najmniejszy w sensie średniokwadratowym,.

Zmierzam do tego, że bardziej w rachunku prawdopodobieństwa wykorzystuje się ww. fakty niż dokładne wyznaczanie WWO jakieś zmiennej losowej.

Wyznaczać WWO można ale ja znam dwa przypadki: ad 3 i ad 5.

Jak dowiesz się czegoś nowego napisz mi proszę na pw lub w tym temacie.

Dzięki