zbiory Borelowskie

[mit92ew]

Pokazać,że \(\displaystyle{ \sigma\left( \alpha _{i} \right) = Bor}\) dla i=0,1,2,...,5, gdzie:
\(\displaystyle{ \alpha _{0} =\left\{ \left( -\infty,a\right): a\in \mathbb{R} \right\}}\)
\(\displaystyle{ alpha _{1} =left{ left[ a,b
ight) :a<b; a,bin mathbb{R}
ight}}\)
\(\displaystyle{ \alpha _{2} =\left\{ \left[ a,b\right] :a<b; a,b\in \mathbb{R} \right\}}\)
\(\displaystyle{ \alpha _{3} =\left\{ \left( a,b\right) :a<b; a,b\in \mathbb{Q} \right\}}\)

[tometomek91]

a) \(\displaystyle{ (a,b)=(-\infty,b) \setminus (-\infty,a]}\)
ale \(\displaystyle{ (-\infty,a]=X \setminus \bigcup_n \left(a-\frac{1}{n}, \infty \right) \in \sigma(\alpha_0)}\)
bo \(\displaystyle{ \sigma(\alpha_0)}\), jak każde sigma-ciało, jest zamknięte na dopełnienia i nieskończone sumy.

Reszta jest bardzo podobna.