Rozkład sumy zmiennych losowych

[lennyh]

Proszę o pomoc z zadaniem:

Niech zmienna losowa \(\displaystyle{ X_1}\) ma rozkład wykładniczy z parametrem \(\displaystyle{ \lambda}\), \(\displaystyle{ f_1(x) = \lambda e^{-\lambda x}}\), \(\displaystyle{ x > 0}\).
Zmienna \(\displaystyle{ X_2}\) natomiast ma rozkład o gęstości \(\displaystyle{ f_2(x) = \lambda e^{\lambda x}}\), \(\displaystyle{ x < 0}\).
Wyznaczyć rozkład \(\displaystyle{ X = X_1 + X_2}\), jeśli zmienne \(\displaystyle{ X_1}\) i \(\displaystyle{ X_2}\) są niezależne.

[pyzol]

Ja bym próbował przez sploty.
\(\displaystyle{ (f_1 * f_2)(u)=\dint{_\RR f_1 (u-y) f_2(y)}{y}\\
f_1 (u-y)= \begin{cases} \lambda e^{-\lambda(u-y,)},\text{ dla } y<u \\ 0 \text{ poza } \end{cases} \\
f_2 (y)= \begin{cases} \lambda e^{\lambda y},\text{ dla } y<0 \\ 0 \text{ poza } \end{cases}}\)
Teraz należy dobrać odpowiednie przedziały w całkach (i tutaj nie jestem pewien poprawności). Jeśli \(\displaystyle{ u<0}\), to obie funkcje zapisujemy jako te górne, mamy więc:
\(\displaystyle{ f(u)=\dint{_{-\infty}^u \lambda e^{-\lambda(u-y,)}\lambda e^{\lambda y}}{y}}\)
Gdy \(\displaystyle{ u \ge 0}\)
\(\displaystyle{ f(u)=\dint{_{-\infty}^0 \lambda e^{-\lambda(u-y,)}\lambda e^{\lambda y}}{y}}\)