Wartość oczekiwana - udowodnić wzór

[Visiativity]

Mam takie zadanie:

Niech X będzie zmienną losową z wartościami w \(\displaystyle{ \mathbb{N}}\). Pokazać, że:
\(\displaystyle{ E(X)= \sum_{n=1}^{ \infty } P(X \ge n)}\)
oraz na podstawie tego wzoru obliczyć wartość oczekiwaną zmiennej losowej o rozkładzie geometrycznym z parametrem p.

Jeśli chodzi o drugą część zadania, to wydaje mi się prosta:
\(\displaystyle{ E(X) = \sum_{n=1}^{ \infty } P(X \ge n) = \sum_{n=1}^{ \infty } (1-p)^{n-1} = \frac{1}{p}}\)
Problem mam natomiast z samym udowodnieniem tej formuły. Z góry dziękuję za wszelką pomoc.

[Qń]

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } P(X \ge n)= \sum_{n=1}^{ \infty } \sum_{k=n}^{ \infty } P(X=k) = \\ =\sum_{1\le n\le k<\infty }P(X=k) = \sum_{k=1}^{\infty}\sum_{n=1}^kP(X=k)= \sum_{k=1}^{\infty}kP(X=k)}\)

Q.