Wyznacz warunkową wartość oczekiwaną...

[Alef]

A to nie będzie tak:

\(\displaystyle{ 0\leq x\leq t}\)
\(\displaystyle{ 0\leq y\leq t-x}\)

Podstawiamy

\(\displaystyle{ x+y=w}\)
\(\displaystyle{ x-y=u}\)

czyli

\(\displaystyle{ x=\frac{w+u}{2}}\)
\(\displaystyle{ y=\frac{w-u}{2}}\)

zatem

a) \(\displaystyle{ 0\leq y\leq t-x}\)

\(\displaystyle{ 0\leq y+x\leq t}\)

\(\displaystyle{ 0\leq w\leq t}\)

b) \(\displaystyle{ 0\leq x\leq t}\)

\(\displaystyle{ 0\leq \frac{w+u}{2}\leq t}\)

\(\displaystyle{ 0\leq u\leq 2t-w}\) <- tu jest błąd :/

Oznacza to, że

\(\displaystyle{ \frac{1}{2}\int_{B_t}h(w)dwdu=\frac{1}{2}\int_{0}^{t}\int_{0}^{2t-w}h(w)dudw=\frac{1}{2}\int_{0}^{t}(2t-w)h(w)dw}\)

czyli

\(\displaystyle{ \frac{1}{2}\int_{0}^{t}(2t-w)h(w)dw=\int_{A_t} (x^2+y^2)dP}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{2}\int_{0}^{t}(2t-w)h(w)dw=\frac{t^{4}}{6}}\)

Różniczkujemy

\(\displaystyle{ \frac{1}{2}(2t-t)h(t)=\frac{4t^{3}}{6}}\)

czyli

\(\displaystyle{ h(t)=\frac{4}{3}t^{2}}\)

??

EDIT od błędu

b) \(\displaystyle{ 0\leq x\leq t}\)

\(\displaystyle{ 0\leq \frac{w+u}{2}\leq t}\)

\(\displaystyle{ -w\leq u\leq 2t-w}\)

ale \(\displaystyle{ 0\leq w \leq t}\)

czyli

\(\displaystyle{ -t\leq u\leq 2t}\)

Oznacza to, że

\(\displaystyle{ \frac{1}{2}\int_{B_t}h(w)dwdu=\frac{1}{2}\int_{0}^{t}\int_{-t}^{2t}h(w)dudw=\frac{3t}{2}\int_{0}^{t}h(w)dw}\)

czyli

\(\displaystyle{ \frac{3t}{2}\int_{0}^{t}h(w)dw=\int_{A_t} (x^2+y^2)dP}\)

\(\displaystyle{ \frac{3t}{2}\int_{0}^{t}h(w)dw=\frac{t^{4}}{6}}\)

\(\displaystyle{ \frac{3}{2}\int_{0}^{t}h(w)dw=\frac{t^{3}}{6}}\)

Różniczkujemy

\(\displaystyle{ \frac{3}{2}h(t)=\frac{t^{2}}{2}}\)

czyli

\(\displaystyle{ h(t)=\frac{1}{3}t^{2}}\)

??

[Zordon]

Niespecjalnie wierzę w takie mechaniczne przekształcanie nierówności jakie ma miejsce powyżej. Należy pamiętać, że \(\displaystyle{ 0\leq x\leq 1}\) i \(\displaystyle{ 0\leq y\leq 1}\), nie jestem pewien, czy wyżej wzięto to pod uwagę. Najlepiej narysować obszar, który powstaje po zmianie współrzędnych i odczytać go z rysunku.
Ja oczywiście też dałem się złapać, bo moje rozumowanie działa dla \(\displaystyle{ t\leq \frac{1}{2}}\) (wtedy obszar to trójkąt). Dla innych \(\displaystyle{ t}\) ten obszar jest bardziej skomplikowany, być może dla \(\displaystyle{ t>\frac{1}{2}}\) funkcja \(\displaystyle{ h}\) ma inną postać.

[Alef]

Dobrze by było jakby ktoś to mógł rozpisać od a do z porządnie bo w moim rozumowaniu też mi coś śmierdzi

[tometomek91]

Chyba powinna wyjść \(\displaystyle{ \frac{1}{3}t^2}\).
Całkując \(\displaystyle{ h}\) po tym zbiorze \(\displaystyle{ B_t=\{(w,u):0\leq w\leq t \wedge 0\leq |u|\leq w\}}\)
dostaniemy
\(\displaystyle{ 2\int_0^{t}wh(w)dw=\frac{t^4}{6}}\)
i dalej \(\displaystyle{ h(t)=\frac{1}{3}t^2}\).