Wyznacz warunkową wartość oczekiwaną...

[tometomek91]

Proszę o znalezienie warunkowej wartości oczekiwanej:
\(\displaystyle{ \Omega=[0,1] \times [0,1]}\), \(\displaystyle{ P=dxdy}\)
\(\displaystyle{ E(x^2+y^2| \sigma(x+y) )=?}\)

[Alef]

Jakieś postępy?
Ciekawy problem.

[Wasilewski]

Z moich obliczeń wynika, że wynikiem jest \(\displaystyle{ \frac{2}{3}(x+y)^{2}}\).

[Alef]

Pokaż proszę jak to policzyłeś

[Wasilewski]

Wystarczy sprawdzać na zbiorach postaci \(\displaystyle{ \{x+y \leqslant t\}}\), a to, że wynik będzie postaci \(\displaystyle{ a(x+y)^{2}}\) jest rozsądnym strzałem i pozostaje wyznaczenie stałej \(\displaystyle{ a}\).

[tometomek91]

Chciałbym przedstawić dwie metody 3) i 4) rozwiązania z tego oto postu 314497.htm#p5004329

3)
Generatorami tego sigma ciała są zbiory \(\displaystyle{ A_t=\{x+y \leqslant t\}}\), więc ze wzoru mamy
\(\displaystyle{ \frac{1}{P(A_t)} \int_{A_t}(x^2+y^2)dxdy=\frac{2}{t^2} \int_0^t dx \int_0^{t-x} (x^2+y^2)dy=\frac{2}{t^2} \cdot \frac{t^4}{6}=\frac{t^2}{3}=\frac{1}{3} (x+y)^2}\)

oraz metoda 4) polegająca na zdefiniowaniu unormowanej miary na zbiorze \(\displaystyle{ y=t-x}\) dla \(\displaystyle{ x \in [0,t]}\) (ukośny odcinek), którą nazwijmy \(\displaystyle{ dl}\) i jest równa \(\displaystyle{ dl=\frac{\sqrt{(dx)^2+(dy)^2}}{t \sqrt{2}}}\) dla \(\displaystyle{ t \in (0,1)}\). Liczymy jak całkę krzywoliniową:
\(\displaystyle{ \int_{A_t} (x^2+y^2)dl=\frac{1}{t\sqrt{2}} \int_0^t (x^2+(t-x)^2)\sqrt{1+ (y'(x))^2}dx=\frac{2}{3}t^2}\).

Pytanie gdzie robię błąd i czy da się znaleźć tę WWO metodami 1) i 2)?

[Alef]

Jak dokładnie policzyłeś \(\displaystyle{ P(A_{t})}\) ?

[tometomek91]

Jak dokładnie policzyłeś \(\displaystyle{ P(A_{t})}\) ?

Po prostu jako pole trójkąta \(\displaystyle{ P(A_t)=\frac{1}{2}t^2}\), bo \(\displaystyle{ P}\) jest miarą Lebesgue'a.

[Alef]

Podoba mi się Twoje pierwsze rozwiązanie

[tometomek91]

Pytanie gdzie robię błąd?

-- 19 lis 2012, o 17:52 --Wasilewski, mógłbyś pokazać swoje obliczenia? Pomogłyby. dzięki

[Alef]

Wasilewski proszę pokaż nam swoje obliczenia

[Zordon]

z definicji WWO to taka funkcja g (mierzalna względem \(\displaystyle{ \sigma(x+y)}\), że dla każdego zbioru \(\displaystyle{ A}\) z rozważanego sigma-ciała, zachodzi równość:
\(\displaystyle{ \int_A g(x,y)dP=\int_A (x^2+y^2)dP}\).
Można pokazać, że w naszym przypadku, \(\displaystyle{ g(x,y)}\) jest postaci \(\displaystyle{ h(x+y)}\) dla pewnej borelowskiej funkcji \(\displaystyle{ h}\) (to jest równoważne mierzalności g). Cel to wyznaczenie \(\displaystyle{ h}\). Wcześniej zauważono, że wystarczy patrzeć na generatory sigma-ciała tzn. zbiory \(\displaystyle{ A_t}\). Mamy do obliczenia:

\(\displaystyle{ \int_{A_t}h(x+y)dP}\)
Robimy podstawienie \(\displaystyle{ w=x+y}\), \(\displaystyle{ u=x-y}\). Jakobian wychodzi (tutaj proszę zweryfikować ) \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) zatem ta całka jest równa:
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}\int_{B_t}h(w)dwdu}\) gdzie \(\displaystyle{ B_t=[0,t ]\times [-t,t]}\).
\(\displaystyle{ =\frac{1}{2}\cdot (2t)\cdot\int_{0}^{t}h(w)dw}\)
Teraz obliczamy prawą stronę, czyli całkę: \(\displaystyle{ \int_{A_t} (x^2+y^2)dP}\). I przyrównujemy do siebie obie wartości. Z tego otrzymujemy funkcję \(\displaystyle{ h}\) a w konsekwencji WWO.

[tometomek91]

Świetnie, dziękuję wszystkim za pomoc

[Alef]

Czyli ta stała jest równa \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\)?

\(\displaystyle{ \frac{1}{2}\cdot (2t)\cdot\int_{0}^{t}h(w)dw=t\cdot\int_{0}^{t}h(w)dw}\)

\(\displaystyle{ \int_{A_t} (x^2+y^2)dP=\frac{t^{4}}{6}}\)

A więc:

\(\displaystyle{ t\cdot\int_{0}^{t}h(w)dw=\frac{t^{4}}{6}}\)

\(\displaystyle{ \int_{0}^{t}h(w)dw=\frac{t^{3}}{6}}\)

\(\displaystyle{ h(t)=\frac{1}{2}t^{2}}\)

\(\displaystyle{ h(x+y)=\frac{1}{2}(x+y)^{2}}\)

??

[Zordon]

Eh, źle wyznaczyłem obszar \(\displaystyle{ B_t}\). Biegłych w całkach podwójnych proszę o poprawienie .
Tym razem mój typ to \(\displaystyle{ B_t=\{(w,u):0\leq w\leq t \wedge 0\leq |u|\leq w\}}\)

Z tego wychodzi, że:
\(\displaystyle{ \int_0^{t}wh(w)dw=\frac{t^4}{6}}\)
czyli \(\displaystyle{ th(t)=\frac{4t^3}{6}}\)
więc zgadzałoby się, że \(\displaystyle{ h(t)=\frac{2t^2}{3}}\)