Prawdopodobieństwo warunkowe

mag2580 · Post autor: **mag2580** » 12 lis 2012, o 20:54

Zadanie 1:
W urnie znajdują się 3 kule białe, 4 czarne i 5 niebieskich. Losujemy trzy kule bez zwracania. Oblicz prawdopodobieństwo, że nie wylosujemy ani jednej kuli białej, jeżeli wiadomo, że wszystkie wylosowane kule są w tym samym kolorze.
Zadanie 2:
Rzucono 4 razy sześcienną kostką do gry. Wiadomo, że za każdym razem uzyskano liczbę oczek mniejszą od 5. Oblicz prawdopodobieństwo, że suma uzyskanych oczek wynosi 5.
Zadanie 3:
W urnie jest po pięć kul białych, czarnych i zielonych. Oblicz prawdopodobieństwo, że losując trzy kule jednocześnie, otrzymamy kule tego samego koloru, pod warunkiem, że wśród wylosowanych kul nie ma białej.
Zadanie 4:
Liczby 1, 2, 3, ..., 10 ustawiamy losowo w ciąg. Oblicz prawdopodobieństwo, że liczba 1 znajdzie się na ostatnim miejscu, jeżeli wiadomo, że liczby parzyste zajęły miejsca o numerach nieparzystych.

Jest to zadanie domowe. Bardzo proszę o rozwiązanie, z wyjaśnieniem, jeśli istnieje taka możliwość. Z góry serdecznie dziękuję za pomoc!

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 12 lis 2012, o 21:05

jakie problemy sie konkretnie pojawiaja?

mat_61 · Post autor: **mat_61** » 12 lis 2012, o 21:06

Gotowców nie piszę (ewentualnie można liczyć na kogoś innego) ale mogę napisać wskazówki.

Generalnie korzystamy z zależności:

\(\displaystyle{ P(A/B)= \frac{P(A \cap B)}{P(B)}}\)

Ponieważ \(\displaystyle{ |\Omega|}\) jest taka sama dla obydwu p-stw w powyższym ułamku, to możemy też zapisać:

\(\displaystyle{ P(A/B)= \frac{|A \cap B|}{|B|}}\)

Przykładowo zadanie 2)

\(\displaystyle{ A}\): suma uzyskanych oczek wynosi pięć
\(\displaystyle{ B}\): za każdym razem uzyskano liczbę oczek mniejszą od pięć - ile jest możliwości takich rzutów
\(\displaystyle{ A \cap B}\): suma oczek wynosi pięć i za każdym razem uzyskano liczbę oczek mniejszą od pięć - ile jest możliwości takich rzutów (możesz je nawet wypisać i policzyć)

mag2580 · Post autor: **mag2580** » 12 lis 2012, o 21:12

Konkretnie pojawiają się problemy z rozwiązaniem tych zadań, ponieważ nie udało mi się zrozumieć do tej pory tego działu, a chciałabym. Więc stwierdziłam, że może jeśli zobaczę jak robi się przykładowe zadania to będę w stanie rozwiązać inne zadania z tego działu.

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 12 lis 2012, o 21:21

Prawdopodobieństwo warunkowe

wpisz zatem w wyszukiwarke u nas na forum i zerkaj na przykladowe rozwiazania

Post autor: **loitzl9006** » 12 lis 2012, o 21:22

Zadanie 1:
Wiadomo że mają być w tym samym kolorze: więc albo będą wszystkie białe, albo wszystkie czarne, albo wszystkie niebieskie. Czy kolejność losowania ma znaczenie? Nie ma - liczy się tylko kolor kuli - korzystamy z kombinacji.

będą wszystkie białe - trzeba wylosować \(\displaystyle{ 3}\) z \(\displaystyle{ 3}\) czyli \(\displaystyle{ {3 \choose 3}=1}\) sposób

wszystkie czarne - trzeba wylosować \(\displaystyle{ 3}\) z \(\displaystyle{ 4}\) czyli \(\displaystyle{ {4 \choose 3}=4}\) sposoby

wszystkie niebieskie - trzeba wylosować \(\displaystyle{ 3}\) z \(\displaystyle{ 5}\) czyli \(\displaystyle{ {5 \choose 3}=10}\) sposobów

zatem na \(\displaystyle{ 1+4+10=15}\) sposobów możesz wylosować wszystkie kule jednakowego koloru. A kiedy nie wylosujesz żadnej białej? Kiedy wszystkie trzy wylosowane będą czarne albo wszystkie trzy będą niebieskie.

Zatem prawdopodobieństwo wynosi \(\displaystyle{ \frac{14}{15}}\).

Widzisz już zasadę? Kolejne zadania są bardzo podobne i w zasadzie trzeba je zrobić tym samym schematem. Przedstaw może swoje obliczenia, a my sprawdzimy i ewentualnie poprawimy.

mag2580 · Post autor: **mag2580** » 12 lis 2012, o 21:30

W takim razie jak wykorzystać tu wzór na prawdopodobieństwo warunkowe?

Post autor: **loitzl9006** » 12 lis 2012, o 21:34

Wg oznaczeń mat_61 w zad1 będzie to tak:

\(\displaystyle{ A:}\) nie wylosujemy ani jednej kuli białej
\(\displaystyle{ B:}\) wszystkie wylosowane kule są w tym samym kolorze
\(\displaystyle{ A \cap B}\): nie wylosujemy ani jednej kuli białej i wszystkie wylosowane kule są w tym samym kolorze.

\(\displaystyle{ P(A \cap B)=14 \\ P(B)=15}\)

mat_61 · Post autor: **mat_61** » 12 lis 2012, o 21:42

Raczej:

\(\displaystyle{ |A \cap B|=14 \\ |B|=15}\)

Post autor: **loitzl9006** » 12 lis 2012, o 21:44

No jasne prawdopodobieństwo nie może być większe niż \(\displaystyle{ 1}\)...

mag2580 · Post autor: **mag2580** » 12 lis 2012, o 21:47

Serdecznie dziękuję, ale jakoś nie mogę tego schematu zastosować do pozostałych zadań. przepraszam

Post autor: **loitzl9006** » 12 lis 2012, o 21:51

Zadanie 3:
W urnie jest po pięć kul białych, czarnych i zielonych. Oblicz prawdopodobieństwo, że losując trzy kule jednocześnie, otrzymamy kule tego samego koloru, pod warunkiem, że wśród wylosowanych kul nie ma białej.

Jakie będzie zdarzenie \(\displaystyle{ B}\)?

mag2580 · Post autor: **mag2580** » 12 lis 2012, o 21:55

Że każda kula będzie innego koloru? Czy o to chodzi?

-- 12 lis 2012, o 21:56 --

Zdarzenie B - wszystkie kule w tym samym kolorze?
Przepraszam za pomyłkę.-- 12 lis 2012, o 21:58 --Przepraszam, ale się zamotałam patrząc na inne zadania w zbiorze.
Czy zdarzenie B - wśród wylosowanych kul nie ma kuli białej? Czy chodzi o to?
Jeszcze raz przepraszam za pomyłkę.

Post autor: **loitzl9006** » 12 lis 2012, o 21:59

Czy zdarzenie B - wśród wylosowanych kul nie ma kuli białej? Czy chodzi o to?

Ok. A jakie będzie zdarzenie \(\displaystyle{ A}\)?

mag2580 · Post autor: **mag2580** » 12 lis 2012, o 22:01

A - otrzymamy trzy kule tego samego koloru?