Budowanie trójkątów z odcinków

[Kanodelo]

Z przedziału \(\displaystyle{ [0,x]}\) losujemy dwa dowolne punkty. Jakie jest pstwo, że z odcinków, na które został podzielony ten przedział, nie da się zbudować trójkąta?

Jedyne co mi przychodzi do głowy, to zapisanie warunku na to żeby nie dało się zbudować trójkąta przy pomocy wzoru na długość odcinka, tylko nie wiem, jak to później wykorzystać do rozwiązania zadania. Może ma ktoś lepszy pomysł?

[JakimPL]

Dla \(\displaystyle{ x>0}\) wybór tego punktu nie wpływa na prawdopodobieństwo. Wylosujmy dwa punkty, \(\displaystyle{ y,z}\). Trójkąt będzie można skonstruować, jeżeli zajdzie nierówność:

\(\displaystyle{ 0<|z-y|<\frac{1}{2}}\),

i długości odcinków będą równe \(\displaystyle{ y,z-y,x-z}\) jeżeli \(\displaystyle{ z>y}\) (lub zamiennie jeżeli \(\displaystyle{ y>z}\); szansa na to, że \(\displaystyle{ y=z}\) jest miary zero).

Jeżeli \(\displaystyle{ z>y}\), to oczywiście musi zajść \(\displaystyle{ y<\frac{1}{2}}\), co zachodzi z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\); wtedy też musi zajść \(\displaystyle{ z\in\left(y,y+\frac{1}{2}\right)}\). To już chyba nasuwa dalszą część.

[Kanodelo]

Tylko co nam daje to, że \(\displaystyle{ z\in\left( y,y+\frac{1}{2}\right)}\)?

[JakimPL]

Miara tego zbioru jest \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\). Jaka jest szansa, że \(\displaystyle{ z}\) wpadnie do takiego zbioru?

[Kanodelo]

Wydaje mi się, że to zależy od długości \(\displaystyle{ x}\). Gdyby \(\displaystyle{ x=1}\) to by wyszła \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\), ale tutaj \(\displaystyle{ x}\) może być dowolne (większe od zera).

[JakimPL]

Pardon, wszystko miało być przemnożone właśnie przez \(\displaystyle{ x}\), liczyłem względnie i zapomniałem tego uwzględnić przy pisaniu posta .

[Kanodelo]

Tak właśnie mi się wydawało, że coś się nie zgadza
Czyli musi zajść \(\displaystyle{ 0<\left| z-y\right| <\frac{1}{2}x}\), więc \(\displaystyle{ y<\frac{1}{2}x}\) i to zachodzi z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\). Szansa że \(\displaystyle{ z\in\left( y,y+\frac{1}{2}x\right)}\) wynosi \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\), więc szansa, że nie należy do tego zbioru i nie da się zbudować trójkątawynosi tyle samo, nie wiem czy dobrze to rozumiem?

[JakimPL]

więc szansa, że nie należy do tego zbioru i nie da się zbudować trójkątawynosi tyle samo, nie wiem czy dobrze to rozumiem?

Tu nie za bardzo wiem, co masz na myśli, mówiąc "tyle samo". Prawdopodobieństwo tego, że nie będzie dało się się zbudować trójkąta jest iloczynem tych zdarzeń \(\displaystyle{ \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}}\) (bez straty ogólności założyliśmy, że jedna z liczb jest większa od drugiej, nie trzeba to rozbijać na sumy \(\displaystyle{ \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\right)}\)).