Jak zrobić takie zadanie?
Jeżeli \(\displaystyle{ \mu}\) jest rozkładem prawdopodobieństwa, tzn. taką miarą borelowską, że \(\displaystyle{ \mu\left( X\right)=1}\) na przestrzeni metrycznej \(\displaystyle{ \left( X, \rho\right)}\), a \(\displaystyle{ x_0 \in X}\), to
\(\displaystyle{ ||\mu-\delta_{{x}_0}||_W}\)= ?
gdzie
W to norma Wassersteina.
Rozkład prawdopodobieństwa
-
szw1710
Rozkład prawdopodobieństwa
Mamy oczywiste rzeczy:
\(\displaystyle{ \int_X f\dd\delta_{x_0}=f(x_0)}\)
oraz wobec \(\displaystyle{ -1\le f\le 1}\) i tego, że \(\displaystyle{ \mu}\) jest probabilistyczna, mamy
\(\displaystyle{ -1\le\int_X f\dd\mu\le 1.}\)
Także
\(\displaystyle{ \int_X f\dd(\mu-\delta_{x_0})=\int_X f\dd\mu - f(x_0).}\)
Dlatego
\(\displaystyle{ -1-f(x_0)\le\int_X f\dd\mu - f(x_0)=\int_X f\dd(\mu-\delta_{x_0})\le 1-f(x_0).}\)
Stąd (bo \(\displaystyle{ -1\le f(x_0)\le 1}\)) mamy
\(\displaystyle{ \left|\int_X f\dd(\mu-\delta_{x_0})\right|\le\max\{1-f(x_0),1+f(x_0)\}.}\)
Teraz po lewej przechodzimy do supremum po wszystkich funkcjach spełniających warunek Lipschitza ze stałą \(\displaystyle{ 1}\). Co będzie po prawej? Jestem zmęczony po 10 godzinach zajęć.
\(\displaystyle{ \int_X f\dd\delta_{x_0}=f(x_0)}\)
oraz wobec \(\displaystyle{ -1\le f\le 1}\) i tego, że \(\displaystyle{ \mu}\) jest probabilistyczna, mamy
\(\displaystyle{ -1\le\int_X f\dd\mu\le 1.}\)
Także
\(\displaystyle{ \int_X f\dd(\mu-\delta_{x_0})=\int_X f\dd\mu - f(x_0).}\)
Dlatego
\(\displaystyle{ -1-f(x_0)\le\int_X f\dd\mu - f(x_0)=\int_X f\dd(\mu-\delta_{x_0})\le 1-f(x_0).}\)
Stąd (bo \(\displaystyle{ -1\le f(x_0)\le 1}\)) mamy
\(\displaystyle{ \left|\int_X f\dd(\mu-\delta_{x_0})\right|\le\max\{1-f(x_0),1+f(x_0)\}.}\)
Teraz po lewej przechodzimy do supremum po wszystkich funkcjach spełniających warunek Lipschitza ze stałą \(\displaystyle{ 1}\). Co będzie po prawej? Jestem zmęczony po 10 godzinach zajęć.