rzuty kostką, losowanie kul

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
Izajash
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 29
Rejestracja: 19 gru 2005, o 15:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Szamotuły

rzuty kostką, losowanie kul

Post autor: Izajash »

mam do obliczenia kilkanaście zadań z prawdopodobienstwa, z czego kilku nie potrafie więc proszę o jakieś podpowiedzi jak rozwiązac te zadania

1.W urnie s cztery kule oznaczone numerami 1, 2, 3 i 4. Losujemy kolejno bez zwracania cztery kule. Numery kul zapisane w kolejności losowania tworzą liczbę czterocyfrową. Oblicz prawdopodobieństwo tego, ze otrzymana liczba jest:
a) parzysta
b) większa od 1234

2.Kuba i Mateusz rzucają każdy po dwa razy symetryczna monetą. Jakie jest prawdopodobieństwo tego że Kuba otrzyma więcej orłów niż Mateusz

3.W szafie są cztery pary butów. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że wśród losowo wybranych czterech butów jest, co najmniej jedna para?

4.Rzucono pięcioma kostkami. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania:
a) dokładnie na dwóch kostkach takiej samej liczby oczek (pary)
b) dokładnie na trzech kostkach takiej samej liczby oczek (trójki)
c) trójki i pary

5.Liczby {1,2,3…,10} uporządkowano w sposób losowy. Oblicz prawdopodobieństwo wystąpienia w tym uporządkowaniu
a) dwójki bezpośrednio przed ósemką
b) dwójki przed ósemką

6.Z urny zawierającej kule o numerach 1, 2, 3, …, 10losujemy cztery razy po jednej kuli. Oblicz prawdopodobieństwo, tego ze numery wylosowanych kul zapisane w kolejności losowania tworzą ciąg rosnący, jeśli losujemy:
a) ze zwracaniem
b) bez zwracania

7.Jakie jest prawdopodobieństwo tego, ze suma oczek otrzymanych w trzech rzutach kostką jest równa 10, jeśli w dwóch pierwszych rzutach wypadły parzyste liczby oczek?

8. Do dwóch szuflad wrzucamy losowo jedną kulę czarną i 5 białych. Jakie jest prawdopodobieństwo, tego z kula czarna znajdzie się drugiej szufladzie, jeśli do pierwszej zostały wrzucone dokładnie dwie kule?

9.W każdej z trzech urn znajduje się 5 kul białych, 5 czarnych i 5 niebieskich. Z każdej urny losujemy po jednej kuli. Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania?
a) kul różnego koloru
b) przynajmniej jednej kuli białej


każda pomoc mile widziana
Ostatnio zmieniony 28 kwie 2007, o 09:43 przez Izajash, łącznie zmieniany 1 raz.
*Kasia
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2826
Rejestracja: 30 gru 2006, o 20:38
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Lublin/warszawa
Podziękował: 62 razy
Pomógł: 482 razy

rzuty kostką, losowanie kul

Post autor: *Kasia »

Ad 1
a) \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\)
b) Wszystkich liczb: \(\displaystyle{ 4!=24}\)
Niesprzyjających: 1
\(\displaystyle{ P=\frac{23}{24}}\)

Ad 2
1. Mateusz - 0 orłów \(\displaystyle{ \frac{1}{4}}\)
Kuba - 1 \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) lub 2 \(\displaystyle{ \frac{1}{4}}\)
\(\displaystyle{ P=\frac{1}{4}\cdot (\frac{1}{2}+\frac{1}{4})=\frac{3}{16}}\).
2. Mateusz - 1 orzeł \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\)
Kuba - 2 orły \(\displaystyle{ \frac{1}{4}}\)
\(\displaystyle{ P=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{4}=\frac{1}{8}}\).
Razem: \(\displaystyle{ \frac{3}{16}+\frac{1}{8}=\frac{5}{16}}\)

Inny sposób: wylosują tyle samo orłów: \(\displaystyle{ \frac{1}{4}\cdot \frac{1}{4}+\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}+\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{4}=\frac{3}{8}}\)
Wylosują inną ilość orłów \(\displaystyle{ \frac{5}{8}}\)
Szanse, że Mateusz będzie mieć więcej wynoszą połowę z tego, że wyrzucą inną ilość:
\(\displaystyle{ P=\frac{5}{8}\cdot \frac{1}{2}=\frac{5}{16}}\)

Ad 3
Nie ma żadnej pary, czyli z każdej pary wylosowaliśmy dokładnie jednego buta: \(\displaystyle{ P(A')=\frac{2^4}{C^4_8}=\frac{16}{70}=\frac{8}{35}\\
P=1-P(A')=\frac{27}{35}}\)


Ad 4
a) Wybieramy dwie kostki na \(\displaystyle{ C^2_5=10}\) sposobów.
Na nich wybieramy oczka na \(\displaystyle{ 6}\) sposobów.
Na pozostałych na \(\displaystyle{ 5,\ 4,\ 3}\) sposobów.
Zdarzeń sprzyjających: \(\displaystyle{ 2400}\)
Wszystkich \(\displaystyle{ 6^5=7776}\)
\(\displaystyle{ P=\frac{2400}{7776}=\frac{1200}{3833}}\)
Zakładam, że ma to być jeden para.

b) Podobnie jak w a).
Sprzyjających: \(\displaystyle{ 1200}\)
Wszystkich: \(\displaystyle{ 7776}\)
\(\displaystyle{ P=\frac{600}{3833}}\)
Na pozostałych dwóch kostkach nie mogą być takie same wyniki.

c) Sprzyjających: \(\displaystyle{ 10\cdot 6\cdot 5=300}\)
\(\displaystyle{ P=\frac{300}{7776}=\frac{25}{648}}\)

Tego zadania nie jestem pewna, więc dobrze by było, gdyby ktoś je sprawdził...

Ad 5
a) Sprzyjających: 9
Wszystkich \(\displaystyle{ 10!=3628800}\)
\(\displaystyle{ P=\frac{9}{3628800}=\frac{1}{403200}}\)
b) \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) Albo jest przed, albo za; prawdopodobieństwo równe.

Ad 7
1. (2,2) \(\displaystyle{ \frac{1}{9}}\)
Losujemy 6.
\(\displaystyle{ \frac{1}{9}\cdot \frac{1}{6}=\frac{1}{54}}\)
2. (2,4), (4,2) \(\displaystyle{ \frac{2}{9}}\)
Losujemy 4.
\(\displaystyle{ \frac{2}{9}\cdot \frac{1}{6}=\frac{2}{54}}\)
3. (2,6), (4,4), (6,2) \(\displaystyle{ \frac{3}{9}}\)
Losujemy 2.
\(\displaystyle{ \frac{3}{9}\cdot \frac{1}{6}=\frac{3}{54}}\)
4. (4,6), (6,4), (6,6) Niemożliwy trzeci rzut.

\(\displaystyle{ P=\frac{1}{54}+\frac{2}{54}+\frac{3}{54}=\frac{1}{9}}\)

Ad 8
Czyli do drugiej wrzucono 4 kule. Obliczamy prawdopodobieństwo, że czarna znajduje się wśród tych 4:
\(\displaystyle{ \frac{C^1_1\cdot C^3_5}{C^4_6}=\frac{10}{15}=\frac{2}{3}}\)

Ad 9
a) \(\displaystyle{ \frac{15}{15}\cdot \frac{10}{15}\cdot \frac{5}{15}=\frac{2}{9}}\)
b) \(\displaystyle{ 1-(\frac{10}{15})^3=1-\frac{8}{27}=\frac{19}{27}}\)
ODPOWIEDZ