prawdopodobieństwo warunkowe

[murfy]

Czterej gracze dostali po 13 kart. Jeden z nich zobaczył przypadkowo u sąsiada:
a) asa pik
b) jakiegoś asa czarnego koloru
c) jakiegoś asa.
Jakie jest prawdopodobieństwo, że ten gracz nie ma asa?

[Lbubsazob]

Wydaje mi się, że powinno być tak:

A - sąsiad ma asa pik (czyli on sam go nie ma)
B - sąsiad ma czarnego asa (czyli on sam może mieć jednego czarnego asa albo nie mieć go wcale)
C - sąsiad ma jakiegoś asa (czyli on sam może mieć jednego, dwa, trzy asy albo nie mieć żadnego)

\(\displaystyle{ \overline{\overline{A}}={51\choose 13} \\
\overline{\overline{B}}={2\choose 1} \cdot {50\choose 12}+{2\choose 0} \cdot {50\choose 13} \\
\overline{\overline{C}}= {4\choose 1} \cdot {48 \choose 12}+{4\choose 2} \cdot {48 \choose 11} +{4\choose 3} \cdot {48 \choose 10}+{4\choose 0} \cdot {48 \choose 13}}\)

Mamy znaleźć prawdopodobieństwo, że gracz nie ma asa, pod warunkiem, że sąsiad ma asa/czarnego asa/jakiegoś asa. Jeżeli zdarzenie X oznacza, że gracz nie ma asa, to wystarczy podstawić do wzoru:
\(\displaystyle{ P\left( X|A\right)= \frac{P\left( X \cap A\right) }{P(A)}}\)
Podobnie z B i C.
Prawdopodobieństwa A, B, C masz policzone wcześniej.
Prawdopodobieństwo \(\displaystyle{ X \cap A}\) to prawdopodobieństwo, że sąsiad ma asa pik i gracz nie ma asa, czyli prawdopodobieństwo, że gracz nie ma żadnego asa.
\(\displaystyle{ P\left( X \cap A\right)= {4 \choose 0} \cdot {48 \choose 13}}\)
Takie samo będzie \(\displaystyle{ P\left( X \cap B\right), P\left( X \cap C\right)}\).

Jeżeli zauważycie jakiś błąd w rozwiązaniu, to dajcie znać.

[mat_61]

Jakieś dziwne (i dla mnie wątpliwe) jest to rozwiązanie. Kolejno:
a) jeżeli liczymy moce zbiorów, to musimy uwzględnić wszystkie warianty (nawet jeżeli jakieś czynniki miałyby się skrócić przy liczeniu p-stwa)
jeżeli:

\(\displaystyle{ |\Omega|= {52 \choose 13} \cdot {39 \choose 13} \cdot {26 \choose 13}}\) to:

\(\displaystyle{ |A|={51 \choose 12} \cdot {39 \choose 13} \cdot {26 \choose 13}}\) (dla sąsiada losujemy \(\displaystyle{ 12}\) kart)

b) pomijając nawet punkt a) to powinno być:

\(\displaystyle{ |B|= \left[ {2 \choose 1} \cdot {50 \choose 12}+ {2 \choose 2} \cdot {50 \choose 11} \right] \cdot {39 \choose 13} \cdot {26 \choose 13}}\) (albo sąsiad ma jednego z czarnych asów + \(\displaystyle{ 12}\) innych kart, albo ma dwa czarne asy + \(\displaystyle{ 11}\) innnych kart)

Analogicznie:

\(\displaystyle{ |C|=\left[ {4\choose 1} \cdot {48 \choose 12}+{4\choose 2} \cdot {48 \choose 11} +{4\choose 3} \cdot {48 \choose 10}+{4\choose 4} \cdot {48 \choose 9}\right] \cdot {39 \choose 13} \cdot {26 \choose 13}}\)

Podobnie dla iloczynu zdarzeń:

\(\displaystyle{ |X \cap A|={48 \choose 13} \cdot {38 \choose 12} \cdot {26 \choose 13}}\) (podglądający ma \(\displaystyle{ 13}\) kart z puli bez asów, podglądany asa pik + 12 kart z pozostałych itd.)

Analogicznie dla b) i c)

Tak przynajmniej ja to widzę.

[pyzol]

Jak dla mnie to można spokojnie uprościć model do zadania:
Na starcie krupier wyciągnął jedną kartę, okazało się, że jest to: a) as pik ...
następnie rozdano Graczowi 13 kart. Jakie jest prawdopodobieństwo...

[Lbubsazob]

mat_61, możliwe, że masz rację. Ja się wzorowałam na podobnym zadaniu, które miałam w zeszłym roku na ćwiczeniach z prawdopodobieństwa:
Z talii 52 kart losujemy 13. Wiadomo, że żadna z wylosowanych kart nie jest treflem. Oblicz prawdopodobieństwo, że żadna z wylosowanych kart nie jest czarna.

Rozwiązywaliśmy to w ten sposób:
Szukamy prawdopodobieństwa, że karta nie jest czarna pod warunkiem, że karta nie jest treflem.
A - wylosowana karta nie jest treflem
\(\displaystyle{ \overline{\overline{A}}= {39 \choose 13} \cdot {13 \choose 0}}\)
X - wylosowana karta nie jest czarna
Szukamy \(\displaystyle{ P\left( X|A\right)= \frac{P\left( X\cap A\right) }{P(A)}}\).
\(\displaystyle{ P\left( X\cap A\right)}\) - czyli prawdopodobieństwo, że karta nie jest czarna i nie jest treflem \(\displaystyle{ \Rightarrow}\) nie jest czarna
\(\displaystyle{ P\left( X\cap A\right) =\frac{1}{2}}\)

Ale nie mam też żadnej gwarancji, że to rozwiązanie jest poprawne.

[mat_61]

pyzol, zgadzam się w 100%. Pozostaje pytanie na ile w rozwiązaniu pytający dopuszcza zmianę modelu na równoważny.-- 8 lis 2012, o 14:10 --Lbubsazob, tutaj |A| jest liczbowo OK, ale nie wiem co miałoby znaczyć, to \(\displaystyle{ {13 \choose 0}}\) (jeżeli wylosowana karta nie jest treflem, to jest losowana spośród \(\displaystyle{ 39}\) pozostałych kart.

W tym zadaniu \(\displaystyle{ X \cap A=X}\), bo przecież:

\(\displaystyle{ X=\left\{ kiery \ , \ kara \right\} \ \ A=\left\{ kiery \ , \ kara \ , \ piki\right\}}\) , czyli:

\(\displaystyle{ |(X \cap A)|=|X|= {26 \choose 13} \ \ |A|= {39 \choose 13}}\)

Nie wiem skąd \(\displaystyle{ P(X \cap A)= \frac{1}{2}}\)

\(\displaystyle{ P(X \cap A)= \frac{ {26 \choose 13} }{ {52 \choose 13} }}\)

[Lbubsazob]

Ja to rozumiem tak, że \(\displaystyle{ {39 \choose 13} \cdot {13 \choose 0}}\) oznacza wylosowanie 0 kart z 13 trefli i 13 kart z pozostałych 39.
A \(\displaystyle{ P\left( X\cap A\right)= \frac{1}{2}}\), bo jest to prawdopodobieństwo zdarzenia X, czyli nie wylosowania karty czarnej. Prawdopodobnie chodziło o to, że nie wylosowanie czarnej oznacza wylosowanie czerwonej, czyli \(\displaystyle{ \frac{26}{52}}\). Chociaż wydaje mi się, że to jest źle, bo powinno się podzielić liczbę możliwości wylosowania czerwonej karty \(\displaystyle{ {26 \choose 13}}\) przez liczbę wszystkich możliwości, czyli \(\displaystyle{ {52 \choose 13}}\).

[mat_61]

To wylosowanie zera kart może być (choć dla mnie jest dziwne).
Natomiast co do \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) to masz rację, bo nie losujemy jednej karty ale trzynaście.

[Lbubsazob]

Dla mnie też, ale czasem zapisywaliśmy coś w stylu \(\displaystyle{ {52 \choose 13} \cdot {13 \choose 0}}\). Ale \(\displaystyle{ {13 \choose 0}}\) i tak wyjdzie \(\displaystyle{ 1}\), więc to nic nie zmieni.

[Astat]

W b) prawidłowa odpowiedź brzmi
\(\displaystyle{ \frac{{ 48 \choose 13}}{ {52 \choose 13 }-{ 50\choose 11 }}}\),
ale moim zdaniem powinno być
\(\displaystyle{ \frac{{ 48 \choose 13}}{ {52 \choose 13 }-2{ 51\choose 12 }}}\),
bo przestrzenią dopuszczalnych zdarzeń jest teraz \(\displaystyle{ \Omega}\) pomniejszona o zbiór zdarzeń sprzyjających zdarzeniu: sąsiad ma czarnego asa (są dwa takie asy, a pozostałe 12 kart jest dowolne). Mam rację, czy się mylę? Rozwiązanie pierwsze zaczerpnąłem z książki Jakubowskiego i Sztencela.

[Premislav]

Licznik oczywisty, natomiast w mianowniku odejmujemy takie "wybory" trzynastu kart dla gracza, w których gracz ma oba czarne asy (bo skoro sąsiad "naszego" gracza ma jakiegoś czarnego asa, to znaczy, że rzeczony gracz ma co najwyżej jednego czarnego asa). No to ich jest \(\displaystyle{ {50 \choose 11}}\).
Przynajmniej tak to widzę.