kule w urnie

[mrowkazzzzz]

W urnie znajdują się 4 kule ponumerowane liczbami 1-4. Losujemy kolejno bez zwracania po jednej kuli. Obliczyć p-stwo, że co najmniej raz numer kuli pokryje się z numerem losowania.

[Pancernik]

\(\displaystyle{ \overline{\overline{\Omega}}=4!=24}\)

Łatwiej jest policzyć \(\displaystyle{ A'}\), czyli przypadek kiedy żaden numer kuli się nie pokrywa z numerel losowania.

\(\displaystyle{ P(A)=1-P(A')}\)

\(\displaystyle{ \overline{\overline{A'}}=3 \cdot 3 \cdot 1 \cdot 1=9}\)
Już tłumaczę jak wyliczyłem \(\displaystyle{ A'}\). Są cztery losowania. Za pierwszym losujemy jedną z trzech. Patrzymy na wylosowany numer (różny od \(\displaystyle{ 1}\)) i następne losowanie jeden z trzech jest właśnie na tym numerze wylosowanym na pierwszym miejscu (czyli ta druga trójka może zamieniać się z jedynkami miejscami). Na pozostałych miejscach muszą być jedynki ponieważ reszta kul nie może być na swoich miejscach.

\(\displaystyle{ P(A)=1- \frac{9}{24} = \frac{5}{8}}\)

[piasek101]

Wczoraj na to patrzyłem i nie szło mi tak łatwo.

Jeśli pierwszą wylosujesz dwójkę to drugą bierzesz dowolną z pozostałych; ale jeśli pierwszą wylosujesz nie dwójkę to drugą musisz wybrać z dwóch dobrych.
Podobnie z trzecią - zależy co było wylosowane wcześniej.

Jeśli te wszystkie możliwości to 9, no to masz ok.
Mi się nie podoba, może jakieś włączenia i wyłączenia.

[pyzol]

Póki co zbiór na tyle mały, że możemy spokojnie je wyszukać do sprawdzenia:
\(\displaystyle{ \begin{array}{c|c|c|c|c|c||c|c|c|c|c|c||c|c|c|c|c|c||c|c|c|c|c|c|c}
1&1&1&1&1&1& 2&2&2&2&2&2&3&3&3&3&3&3&4&4&4&4&4&4\\
2&2&4&4&3&3& 1&1&4&4&3&3&2&2&4&4&1&1&2&2&1&1&3&3\\
3&4&2&3&2&4& 3&4&1&3&1&4&1&4&2&1&2&4&3&1&2&3&2&1\\
4&3&3&2&4&2& 4&3&3&1&4&1&4&1&1&2&4&2&1&3&3&2&1&2\\
+&+&+&+&+&+&+&-&-&+&+&-&+&+&-&-&+&-&+&+&-&+&-&-
\end{array}}\)
Właściwie nasze rozumowanie możemy ograniczyć do drugiego "bloku" Gdyż kolejne bloki to zamiana jedynki z inną liczbą. Natomiast pierwszy nas nie interesuje.

[mat_61]

Nie wiem czy tutaj nie jest łatwiej obliczyć \(\displaystyle{ |A|}\)

a) wszystkie numery kul są zgodne z numerami losowań - \(\displaystyle{ 1}\) przypadek
b) dokładnie numery trzech kul są zgodne z numerami losowań - niemożliwe
c) dokładnie numery dwóch kul są zgodne z numerami losowań - \(\displaystyle{ 6}\) możliwości \(\displaystyle{ {4 \choose 2}}\) - jak dwie wybrane są zgodne, to jest tylko jedna możliwość dla dwóch pozostałych
d) dokładnie nuer jednej kuli jest zgodny z numerem losowania - \(\displaystyle{ 8}\) możliwości - po wybraniu tej jednej kuli dla trzech pozostałych są tylko dwie możliwości.

-- 8 lis 2012, o 14:28 --

Teraz dopiero zauważyłem, że sposób Pancernika jest sprytny, bo nie losuje kolejne miejsca (wóczas byłoby zasadne zastrzeżenie piaska101) tylko na pierwszym miejscu losyjemy spośród \(\displaystyle{ \left\{ 2, 3, 4\right\}}\) a następnie nie losujemy na drugim miejscu, tylko na miejscu będącym wynikiem pierwszego losowania. Jeżeli więc na pierwszym miejscu wylosujemy trójkę, to później nie losujemy na drugim, tylko na trzecim i mamy do dyspozycji \(\displaystyle{ \left\{ 1, 2, 4\right\}}\)