kule w urnie
-
- Użytkownik
- Posty: 189
- Rejestracja: 19 kwie 2008, o 15:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: warszawa
kule w urnie
W urnie znajdują się 4 kule ponumerowane liczbami 1-4. Losujemy kolejno bez zwracania po jednej kuli. Obliczyć p-stwo, że co najmniej raz numer kuli pokryje się z numerem losowania.
-
- Użytkownik
- Posty: 634
- Rejestracja: 3 mar 2009, o 14:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ruda Śląska
- Podziękował: 5 razy
- Pomógł: 143 razy
kule w urnie
\(\displaystyle{ \overline{\overline{\Omega}}=4!=24}\)
Łatwiej jest policzyć \(\displaystyle{ A'}\), czyli przypadek kiedy żaden numer kuli się nie pokrywa z numerel losowania.
\(\displaystyle{ P(A)=1-P(A')}\)
\(\displaystyle{ \overline{\overline{A'}}=3 \cdot 3 \cdot 1 \cdot 1=9}\)
Już tłumaczę jak wyliczyłem \(\displaystyle{ A'}\). Są cztery losowania. Za pierwszym losujemy jedną z trzech. Patrzymy na wylosowany numer (różny od \(\displaystyle{ 1}\)) i następne losowanie jeden z trzech jest właśnie na tym numerze wylosowanym na pierwszym miejscu (czyli ta druga trójka może zamieniać się z jedynkami miejscami). Na pozostałych miejscach muszą być jedynki ponieważ reszta kul nie może być na swoich miejscach.
\(\displaystyle{ P(A)=1- \frac{9}{24} = \frac{5}{8}}\)
Łatwiej jest policzyć \(\displaystyle{ A'}\), czyli przypadek kiedy żaden numer kuli się nie pokrywa z numerel losowania.
\(\displaystyle{ P(A)=1-P(A')}\)
\(\displaystyle{ \overline{\overline{A'}}=3 \cdot 3 \cdot 1 \cdot 1=9}\)
Już tłumaczę jak wyliczyłem \(\displaystyle{ A'}\). Są cztery losowania. Za pierwszym losujemy jedną z trzech. Patrzymy na wylosowany numer (różny od \(\displaystyle{ 1}\)) i następne losowanie jeden z trzech jest właśnie na tym numerze wylosowanym na pierwszym miejscu (czyli ta druga trójka może zamieniać się z jedynkami miejscami). Na pozostałych miejscach muszą być jedynki ponieważ reszta kul nie może być na swoich miejscach.
\(\displaystyle{ P(A)=1- \frac{9}{24} = \frac{5}{8}}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 23497
- Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: piaski
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 3265 razy
kule w urnie
Wczoraj na to patrzyłem i nie szło mi tak łatwo.
Jeśli pierwszą wylosujesz dwójkę to drugą bierzesz dowolną z pozostałych; ale jeśli pierwszą wylosujesz nie dwójkę to drugą musisz wybrać z dwóch dobrych.
Podobnie z trzecią - zależy co było wylosowane wcześniej.
Jeśli te wszystkie możliwości to 9, no to masz ok.
Mi się nie podoba, może jakieś włączenia i wyłączenia.
Jeśli pierwszą wylosujesz dwójkę to drugą bierzesz dowolną z pozostałych; ale jeśli pierwszą wylosujesz nie dwójkę to drugą musisz wybrać z dwóch dobrych.
Podobnie z trzecią - zależy co było wylosowane wcześniej.
Jeśli te wszystkie możliwości to 9, no to masz ok.
Mi się nie podoba, może jakieś włączenia i wyłączenia.
- pyzol
- Użytkownik
- Posty: 4346
- Rejestracja: 26 kwie 2010, o 11:39
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Nowa Ruda
- Podziękował: 5 razy
- Pomógł: 929 razy
kule w urnie
Póki co zbiór na tyle mały, że możemy spokojnie je wyszukać do sprawdzenia:
\(\displaystyle{ \begin{array}{c|c|c|c|c|c||c|c|c|c|c|c||c|c|c|c|c|c||c|c|c|c|c|c|c}
1&1&1&1&1&1& 2&2&2&2&2&2&3&3&3&3&3&3&4&4&4&4&4&4\\
2&2&4&4&3&3& 1&1&4&4&3&3&2&2&4&4&1&1&2&2&1&1&3&3\\
3&4&2&3&2&4& 3&4&1&3&1&4&1&4&2&1&2&4&3&1&2&3&2&1\\
4&3&3&2&4&2& 4&3&3&1&4&1&4&1&1&2&4&2&1&3&3&2&1&2\\
+&+&+&+&+&+&+&-&-&+&+&-&+&+&-&-&+&-&+&+&-&+&-&-
\end{array}}\)
Właściwie nasze rozumowanie możemy ograniczyć do drugiego "bloku" Gdyż kolejne bloki to zamiana jedynki z inną liczbą. Natomiast pierwszy nas nie interesuje.
\(\displaystyle{ \begin{array}{c|c|c|c|c|c||c|c|c|c|c|c||c|c|c|c|c|c||c|c|c|c|c|c|c}
1&1&1&1&1&1& 2&2&2&2&2&2&3&3&3&3&3&3&4&4&4&4&4&4\\
2&2&4&4&3&3& 1&1&4&4&3&3&2&2&4&4&1&1&2&2&1&1&3&3\\
3&4&2&3&2&4& 3&4&1&3&1&4&1&4&2&1&2&4&3&1&2&3&2&1\\
4&3&3&2&4&2& 4&3&3&1&4&1&4&1&1&2&4&2&1&3&3&2&1&2\\
+&+&+&+&+&+&+&-&-&+&+&-&+&+&-&-&+&-&+&+&-&+&-&-
\end{array}}\)
Właściwie nasze rozumowanie możemy ograniczyć do drugiego "bloku" Gdyż kolejne bloki to zamiana jedynki z inną liczbą. Natomiast pierwszy nas nie interesuje.
-
- Użytkownik
- Posty: 4618
- Rejestracja: 8 lis 2009, o 10:22
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Racibórz
- Pomógł: 866 razy
kule w urnie
Nie wiem czy tutaj nie jest łatwiej obliczyć \(\displaystyle{ |A|}\)
a) wszystkie numery kul są zgodne z numerami losowań - \(\displaystyle{ 1}\) przypadek
b) dokładnie numery trzech kul są zgodne z numerami losowań - niemożliwe
c) dokładnie numery dwóch kul są zgodne z numerami losowań - \(\displaystyle{ 6}\) możliwości \(\displaystyle{ {4 \choose 2}}\) - jak dwie wybrane są zgodne, to jest tylko jedna możliwość dla dwóch pozostałych
d) dokładnie nuer jednej kuli jest zgodny z numerem losowania - \(\displaystyle{ 8}\) możliwości - po wybraniu tej jednej kuli dla trzech pozostałych są tylko dwie możliwości.
-- 8 lis 2012, o 14:28 --
Teraz dopiero zauważyłem, że sposób Pancernika jest sprytny, bo nie losuje kolejne miejsca (wóczas byłoby zasadne zastrzeżenie piaska101) tylko na pierwszym miejscu losyjemy spośród \(\displaystyle{ \left\{ 2, 3, 4\right\}}\) a następnie nie losujemy na drugim miejscu, tylko na miejscu będącym wynikiem pierwszego losowania. Jeżeli więc na pierwszym miejscu wylosujemy trójkę, to później nie losujemy na drugim, tylko na trzecim i mamy do dyspozycji \(\displaystyle{ \left\{ 1, 2, 4\right\}}\)
a) wszystkie numery kul są zgodne z numerami losowań - \(\displaystyle{ 1}\) przypadek
b) dokładnie numery trzech kul są zgodne z numerami losowań - niemożliwe
c) dokładnie numery dwóch kul są zgodne z numerami losowań - \(\displaystyle{ 6}\) możliwości \(\displaystyle{ {4 \choose 2}}\) - jak dwie wybrane są zgodne, to jest tylko jedna możliwość dla dwóch pozostałych
d) dokładnie nuer jednej kuli jest zgodny z numerem losowania - \(\displaystyle{ 8}\) możliwości - po wybraniu tej jednej kuli dla trzech pozostałych są tylko dwie możliwości.
-- 8 lis 2012, o 14:28 --
Teraz dopiero zauważyłem, że sposób Pancernika jest sprytny, bo nie losuje kolejne miejsca (wóczas byłoby zasadne zastrzeżenie piaska101) tylko na pierwszym miejscu losyjemy spośród \(\displaystyle{ \left\{ 2, 3, 4\right\}}\) a następnie nie losujemy na drugim miejscu, tylko na miejscu będącym wynikiem pierwszego losowania. Jeżeli więc na pierwszym miejscu wylosujemy trójkę, to później nie losujemy na drugim, tylko na trzecim i mamy do dyspozycji \(\displaystyle{ \left\{ 1, 2, 4\right\}}\)