Dwa zadania

[qwert16]

Dany jest zbiór X={1,2,3,.....,n}, gdzie n>2.

a) Ze zbioru X losujemy kolejno bez zwracania dwie liczby.
Oblicz prawdopodobieństwo, że pierwsza z wylosowanych liczb jest większa od drugiej.

b) Zbiór X dzielimy na dwa niepuste podzbiory. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że 1 i n będą w tym samym podzbiorze.

[piasek101]

1) Co jest bardziej prawdopodobne - pierwsza większa od drugiej czy odwrotnie ?

[mat_61]

Wskazówka:

2)
Wszystkich możliwych podziałów na dwa niepuste podzbiory jest \(\displaystyle{ |\Omega|=2^n-2}\)

Teraz oblicz ile jest możliwych podziałów na dwa niepuste podzbiory zbioru \(\displaystyle{ X_{1}=\left\{ 2,3,...,n-1\right\}}\) - wówczas te dwa elementy możesz dodać do każdego z nich, natomiast dla takiego podziału, że jest jeden zbiór pusty te dwa elementy możesz dodać właśnie do tego pustego zbioru.

(*) oczywiście ta wskazówka dotyczy wariantu, że te dwa podzbiory są rozróżnialne. Jeżeli zbiory są nierozróżnialne, to odpowiednie moce zbiorów będą o połowę mniejsze co jednak nie zmieni p-stwa.

[qwert16]

2)
Wszystkich możliwych podziałów na dwa niepuste podzbiory jest \(\displaystyle{ |\Omega|=2^n-2}\)

Czyli traktujemy że \(\displaystyle{ 1}\) i \(\displaystyle{ n}\) jako całość wtedy będzie elementów \(\displaystyle{ n-1}\)

i mamy wtedy \(\displaystyle{ |A|=2^{n-1}-2}\). Chyba to jest dobrze?



Ile by wynosiła moc zbioru \(\displaystyle{ A}\) gdyby w zadaniu było pytanie,

że liczby \(\displaystyle{ 1}\) i \(\displaystyle{ n}\) wystąpią w różnych podzbiorach?

[mat_61]

Pierwsze jest OK.

Gdyby te elementy miały być w różnych zbiorach to wtedy musimy podzielić pozostałe elementy na dwa dowolne podzbiory (mogą też być podzbiory puste) i dodać po jednym elemencie do każdego z podzbiorów (na dwa sposoby).

Można też to zrobić korzystając ze zdarzenia przeciwnego, czyli \(\displaystyle{ |\Omega|-|A|}\)