Witam
Mam następujące zadanie do rozwiązania:
\(\displaystyle{ \Omega = \left[ 0,1 \right] ^{2}, P = l_^{2}}\), gdzie \(\displaystyle{ l_^{2}}\) to dwuwymiarowa miara Lebesgue'a.
Wyznaczyć \(\displaystyle{ \mathbb{E}\left( X^{2}Y | Y\right)}\).
Mam do Was ogólnie prośbę, abyście wytłumaczyli mi, jak liczy się właśnie warunkowe wartości oczekiwane. Niestety nie mam chwilowo dostępu do książki Sztencla.
Pozdrawiam,
bartek118
Warunkowa wartość oczekiwana
-
- Użytkownik
- Posty: 3921
- Rejestracja: 10 gru 2007, o 20:10
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 36 razy
- Pomógł: 1194 razy
Warunkowa wartość oczekiwana
Rozumiem, że \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\) to odpowiednie rzuty, wtedy z faktu, że dwuwymiarowa miara Lebesgue'a jest produktem miar jednowymiarowych wynika, że zmienne te są niezależne. Są one również ograniczone, zatem
\(\displaystyle{ \mathbb{E} (X^{2}Y|Y) = Y \mathbb{E}(X^2|Y) = Y \mathbb{E}X^2 = \frac{1}{3}Y,}\)
gdzie pierwsze przejście wynika z mierzalności \(\displaystyle{ Y}\) względem \(\displaystyle{ \sigma(Y)}\) (nie jest to wielka mądrość), a drugie z niezależności \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\).
\(\displaystyle{ \mathbb{E} (X^{2}Y|Y) = Y \mathbb{E}(X^2|Y) = Y \mathbb{E}X^2 = \frac{1}{3}Y,}\)
gdzie pierwsze przejście wynika z mierzalności \(\displaystyle{ Y}\) względem \(\displaystyle{ \sigma(Y)}\) (nie jest to wielka mądrość), a drugie z niezależności \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 3921
- Rejestracja: 10 gru 2007, o 20:10
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 36 razy
- Pomógł: 1194 razy
Warunkowa wartość oczekiwana
Wtedy nie da się nic powiedzieć, ale jestem prawie pewien, że chodzi o te rzuty, bo inaczej żadnego sensu nie miałoby podawanie, jak wygląda przestrzeń probabilistyczna.