Warunkowa wartość oczekiwana

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
bartek118
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5974
Rejestracja: 28 lut 2010, o 19:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Toruń
Podziękował: 15 razy
Pomógł: 1251 razy

Warunkowa wartość oczekiwana

Post autor: bartek118 »

Witam

Mam następujące zadanie do rozwiązania:
\(\displaystyle{ \Omega = \left[ 0,1 \right] ^{2}, P = l_^{2}}\), gdzie \(\displaystyle{ l_^{2}}\) to dwuwymiarowa miara Lebesgue'a.
Wyznaczyć \(\displaystyle{ \mathbb{E}\left( X^{2}Y | Y\right)}\).

Mam do Was ogólnie prośbę, abyście wytłumaczyli mi, jak liczy się właśnie warunkowe wartości oczekiwane. Niestety nie mam chwilowo dostępu do książki Sztencla.

Pozdrawiam,
bartek118
Wasilewski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3921
Rejestracja: 10 gru 2007, o 20:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 36 razy
Pomógł: 1194 razy

Warunkowa wartość oczekiwana

Post autor: Wasilewski »

Rozumiem, że \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\) to odpowiednie rzuty, wtedy z faktu, że dwuwymiarowa miara Lebesgue'a jest produktem miar jednowymiarowych wynika, że zmienne te są niezależne. Są one również ograniczone, zatem
\(\displaystyle{ \mathbb{E} (X^{2}Y|Y) = Y \mathbb{E}(X^2|Y) = Y \mathbb{E}X^2 = \frac{1}{3}Y,}\)
gdzie pierwsze przejście wynika z mierzalności \(\displaystyle{ Y}\) względem \(\displaystyle{ \sigma(Y)}\) (nie jest to wielka mądrość), a drugie z niezależności \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\).
bartek118
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5974
Rejestracja: 28 lut 2010, o 19:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Toruń
Podziękował: 15 razy
Pomógł: 1251 razy

Warunkowa wartość oczekiwana

Post autor: bartek118 »

Niestety nie jest w zadaniu podane, że są to rzuty. To najpewniej dowolne zmienne losowe.
Wasilewski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3921
Rejestracja: 10 gru 2007, o 20:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 36 razy
Pomógł: 1194 razy

Warunkowa wartość oczekiwana

Post autor: Wasilewski »

Wtedy nie da się nic powiedzieć, ale jestem prawie pewien, że chodzi o te rzuty, bo inaczej żadnego sensu nie miałoby podawanie, jak wygląda przestrzeń probabilistyczna.
ODPOWIEDZ