Rzucamy symetryczną monetą dopóki nie wypadnie orzeł. Niech \(\displaystyle{ X}\) będzie zmienną losową liczącą ile rzutów zostało wykonanych zanim wypadł orzeł. Mamy następującą grę. Jeżeli \(\displaystyle{ T=k}\) to otrzymamy \(\displaystyle{ 2^k}\) zł. Jaka powinna być "uczciwa" opłata za taką grę?
Strzelałbym, że 1 zł. Ale czy tak jest rzeczywiście i jeśli tak, to jak to pokazać?
Gra jest sprawiedliwa jeśli jej wartość oczekiwana jest równa 0.
\(\displaystyle{ \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
x_i & 0 & 1 & 2 & \ldots & k \\
\hline
p_i & 1/2 & 1/4 & 1/8 & \ldots &1/2^{k+1} \\
\hline
\end{tabular}}\)
\(\displaystyle{ E(X) = \sum_{i=0}^{\infty} x_i p_i = \sum_{i=0}^{\infty} \frac{i}{2^{i+1}}}\)
Niestety nie za bardzo wiem co z tym dalej zrobić.
Z góry dzięki za pomoc,
Pozdrawiam.
edit: W \(\displaystyle{ k}\)-tym kroku może zarobić \(\displaystyle{ 2^k}\) z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ p_k = \frac{1}{2^{k+1}}}\), i stracić z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ 1 - p_k}\) jakąś liczbę \(\displaystyle{ x}\).
\(\displaystyle{ 2^k \frac{1}{2^{k+1}} = (1 - \frac{1}{2^{k+1}})x}\)
Wyliczając \(\displaystyle{ x}\) mi wyszedł tyle: \(\displaystyle{ \frac{2^{k}}{2^{k+1} - 1}}\). Dobrze?