Sekretarka mając \(\displaystyle{ n}\) listów i dopasowanych do nich kopert pakuje je w sposób losowy. Pokazać, że ilość poprawnie dopasowanych listów \(\displaystyle{ X}\) ma wartość oczekiwaną i wariancję równą 1.
Robię to w sposób następujący:
\(\displaystyle{ X}\) - zmienna losowa, ile listów jest poprawnie zapakowanych.
\(\displaystyle{ \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
x_i & 0 & 1 & \cdots & i & \cdots & n \\
\hline
p_i & ? & n (n-1)! \sum_{k=0}^{n-1} \frac{(-1)^k}{k!}/n! & \cdots & (n po i)(n-i)! \sum_{k=0}^{n-i} \frac{(-1)^k}{k!}/n! & \cdots & 1/n! \\
\hline
\end{tabular}}\)
Jeśli \(\displaystyle{ i}\) listów jest na swoim miejscu to \(\displaystyle{ (n-i)}\) jest nie na swoim (permutacje bez punktów stałych - \(\displaystyle{ (n-i)! \sum_{k=0}^{n-i} \frac{(-1)^k}{k!}}\)), te które mają być na właściwym miejscu wybieram na \(\displaystyle{ {n\choose i}}\) sposobów.
\(\displaystyle{ E(X) = \sum_{i=0}^{n} i \frac{{n\choose i}(n-i)! \sum_{k=0}^{n-i} \frac{(-1)^k}{k!}}{n!} = 1}\)
\(\displaystyle{ \sum_{i=0}^{n} i {n\choose i}(n-i)! \sum_{k=0}^{n-i} \frac{(-1)^k}{k!} = n!}\)
... i teraz chciałem zrobić dowód kombinatoryczny: po prawej stronie mamy ilość permutacji zbioru \(\displaystyle{ n}\)-elementowego. Po lewej stronie policzymy te permutacje inaczej, rozpatrując ile punktów stałych może mieć taka permutacja. Albo 0, albo 1, ... \(\displaystyle{ n}\). Tylko dlaczego tam jest dodatkowo przemnożone przez \(\displaystyle{ i}\)? Tzn. tak musi być ze wzoru na wartość oczekiwaną, tylko jak to zinterpretować kombinatorycznie? Bo rozpisywać to równanie to raczej tego nie widzę
Chyba, że jakoś inaczej da się to rozwiązać?
Z góry dzięki za pomoc,
Pozdrawiam.