Dni urodzin

[drago77]

Na przyjęcie ma przyjść n osób. Zakładamy, że każda z nich ma jednakowe prawdopodobieństwo
urodzin w dowolnym dniu roku, niezależnie od pozostałych osób (założyć,
że rok nie jest przestępny). Jakie jest prawdopodobieństwo, że każda z osób ma inny
dzień urodzin?

Skoro n nie jest jakąś bliżej określoną liczbą, ale wiem że każda z osób ma jednakowe prawdopodobieństwo urodzin w danym dniu więc zakładam, że n = 365. Czyli \(\displaystyle{ A = 365}\) a \(\displaystyle{ W = 365!}\)(bo 365 osoba może wybierać spośród 365 dni, 364 z 364 dni itd), a więc:

\(\displaystyle{ P(A) = \frac{A}{W} = \frac{365}{365!}}\)

Czy to rozwiązanie jest dobre?

[szw1710]

Przez zdarzenie przeciwne.

Aby prawdopodobieństwo tego, że istnieją na przyjęciu co najmniej dwie osoby urodzone w tym samym dniu, wynosiło \(\displaystyle{ 0.9,}\) potrzeba tylko \(\displaystyle{ 26}\) uczestników.

[drago77]

Przez zdarzenia przeciwne

A jak to mniej więcej zapisać?

[inata]

Liczba wszystkich zdarzeń: rozmieszczenie n rozróżnialnych kul do 365 rozróżnialnych pudełek.
Liczba zdarzeń sprzyjających:
Tu już jest ciut ciężej. Najpierw zastanówmy się na ile sposobów można wybrać różne dni podczas których mogłoby się urodzić n osób. A następnie na ile sposobów n osób mogłoby się urodzić w n dni

[drago77]

Wymyśliłem coś takiego, ale nie wiem czy to jest poprawnie. Prawdopodobieństwo, że pierwsza osoba będzie miała urodziny w danym dniu roku wynosi \(\displaystyle{ \frac{1}{365}}\). Kolejna osoba ma już do dyspozycji 364 dni, n-ta osoba ma 365 - n dni, a więc:

\(\displaystyle{ P(A) = \frac{1}{365} + \frac{1}{364} + ... + \frac{1}{365 - n}}\)

[inata]

365 - n dni

Miałeś na myśli 364 - n dni. Ale i tak jest źle, sprawdź sobie dla np n = 2

[drago77]

Ok poprawiłem ten błąd i wyszło mi tak:

\(\displaystyle{ P(A) = \frac{1}{d} + \frac{1}{d - 1} + ... + \frac{1}{d - n + 1}}\)
d - liczba dni
n - liczba osób

[mat_61]

To nie może być dobre rozwiązanie chociażby z tego powodu, że nawet dla \(\displaystyle{ n<365}\) otrzymamy \(\displaystyle{ P(A)>1}\). Powiedzmy dla \(\displaystyle{ n=363}\) mamy takie składniki sumy (piszę od ostatniego):

\(\displaystyle{ P(A)= \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6}+ \frac{1}{7} +...+ \frac{1}{365} =1 \frac{13}{140} +... + \frac{1}{365}}\)

Rozwiązanie jest takie:
Wyobraźmy sobie, że dla \(\displaystyle{ n \le 365}\) osób mamy \(\displaystyle{ n}\) ponumerowanych pudełek. Ponieważ p-stwo urodzenia w każdym dniu roku jest jednakowe to umieśćmy w każdym pudełku \(\displaystyle{ 365}\) kul z kolejnymi datami roku i losujmy datę urodzenia dla każdej osoby. Wszystkich możliwych do wylosowania zestawów dat urodzin dla tych osób jest (wariacje z powtórzeniami):

\(\displaystyle{ |\Omega|=\underbrace {365 \cdot 365 \cdot ... \cdot 365}_{n \ razy}=365^n}\)

Natomiast takich zestawów dla tych \(\displaystyle{ n}\) osób, że każda z nich ma inną datę urodzin jest (wariacje bez powtórzeń):

\(\displaystyle{ |A|=365 \cdot 364 \cdot 363 \cdot ... \cdot \left( 365-n+1\right)}\)

Stąd:

\(\displaystyle{ P(A)= \frac{365 \cdot 364 \cdot 363 \cdot ... \cdot \left( 365-n+1\right)}{365^n}}\)

-------------------------------------------

Aby prawdopodobieństwo tego, że istnieją na przyjęciu co najmniej dwie osoby urodzone w tym samym dniu, wynosiło \(\displaystyle{ 0.9,}\) potrzeba tylko \(\displaystyle{ 26}\) uczestników.

Tutaj się nie zgodzę, bo takich osób musiałoby być \(\displaystyle{ 41}\) i wówczas \(\displaystyle{ P(A')=0,90315 ...}\)

Natomiast dla \(\displaystyle{ 26}\) osób \(\displaystyle{ P(A')=0,59824... \approx 0,6}\)

[szw1710]

Strzelałem tylko - skądś wydawało mi się, że 26, co nie było poparte rachunkiem. . Ale i tak jest to ciekawe, że nie trzeba zbyt wielu osób. Często na wykładach robię tego rodzaju eksperyment i prawie zawsze znajduję osoby urodzone w tym samym dniu.