Dystrybuanta i gęstość

[mcmcjj]

Mamy wyznaczyć stałą \(\displaystyle{ A}\) tak, by \(\displaystyle{ f(x)}\) była gęstością zmiennej losowej \(\displaystyle{ x}\). Następnie obliczyć dystrybuantę i \(\displaystyle{ P(0,5<X<1,5)}\).

\(\displaystyle{ f(x)=\left\{\begin{array}{l} 0 \Leftrightarrow x<-1\\
A(x^{2}-4) \Leftrightarrow -1 \le x < 1\\
0 \Leftrightarrow 1 \le x < 2\\
A(x-5) \Leftrightarrow 2 \le x < 3\\
0 \Leftrightarrow x \ge 3 \end{array}}\)

Teraz moje pytania.

1. Wyznaczanie stałej \(\displaystyle{ A}\).

Stałą wyznaczam z zależności \(\displaystyle{ \int_{- \infty }^{ \infty }f(x)dx=1 \Leftrightarrow \int_{-1}^{1}(x^{2}-4)dx + \int_{2}^{3}(x-5)dx=1}\). Czy w ten sposób ? Biorę pod uwagę tylko tę część \(\displaystyle{ f(x)}\), gdzie występuje \(\displaystyle{ A}\) ?

2. Dystrybuanta \(\displaystyle{ F(x)}\).

Dystrybuantę liczę z \(\displaystyle{ F(x)= \int_{- \infty }^{x}f(t)dt}\), gdzie \(\displaystyle{ f(t)}\) - gęstość. \(\displaystyle{ F(x)}\) liczę dla każdej części funkcji "klamerkowej".

3. \(\displaystyle{ P(0,5<X<1,5)=F(1,5)-F(0,5)}\) ?

[Lider Artur]

Ad.1
Dobrze, tylko w funkcjach podcałkowych nie przepisałeś parametru \(\displaystyle{ A}\)
Ad.2
Tak
Ad.3
Tak

[Qń]

\(\displaystyle{ f(x)=\left\{\begin{array}{l} 0 \Leftrightarrow x<-1\\
A(x^{2}-4) \Leftrightarrow -1 \le x < 1\\
0 \Leftrightarrow 1 \le x < 2\\
A(x-5) \Leftrightarrow 2 \le x < 3\\
0 \Leftrightarrow x \ge 3 \end{array}}\)

W tej formie definicja funkcji jest sprzeczna.

Tam nie powinno być "wtedy i tylko wtedy", a po prostu "gdy". I zupełnie niepotrzebne jest silenie się na zapisanie tego przy użyciu symboli logicznych.

Q.