Znajdowanie statystyk na podstawie rozkladu wykładniczego.

[MakCis]

Niech \(\displaystyle{ X_1,X_2,...,X_n}\) będzie próbą z rozkładu wykładniczego z parametrem \(\displaystyle{ \lambda= 7}\).
Znajdź rozkład statystyki \(\displaystyle{ T_2(X_1,X_2,...,X_n) = X_1 + X_2}\) oraz uogólnij rozumowanie i podaj rozkład \(\displaystyle{ T_n(X_1,X_2, ...,X_n) = X_1 + X_2 + ... + X_n}\)

Z pierwszą częścią jakoś sobie radzę, tzn. znajduję gęstość takiego rozkładu:

\(\displaystyle{ P(T_2 = k) = P(X_1+X_2 = k ) = P(X_1 = n, X_2= k-n) = P(X_1=n)P(X_2 = k-n) = \lambda e^{-\lambda n} \lambda e^{-\lambda(k-n)} = \lambda^2 e^{ - \lambda k}}\)

Strzelam, że ogólnie \(\displaystyle{ P(T_n = k) = \lambda ^n e^{-\lambda k}}\) ale nie mam co do tego pewnośc, a nawet jeśli jest ok to nie wiem jak to udowodnic.

[fon_nojman]

Rozumiem, że próba to tzw próba prosta czyli zmienne są niezależne i o tym samym rozkładzie.

Wtedy statystyka \(\displaystyle{ T_2}\) jest sumą niezależnych zmiennych losowych czyli możesz wyznaczyć jej rozkład za pomocą splotu.

Twoje rozwiązanie jest niedobre.

[MakCis]

Dlaczego jest niedobre?-- 27 października 2012, 11:51 --Jak robię splotem to dochodzę do tego że dla zmiennej losowej \(\displaystyle{ X_1 + X_2}\):
\(\displaystyle{ f(t) = \lambda^2 e^{- \lambda t} \int_0^{\infty} dx}\). Więc też jest chyba coś nie tak...

[fon_nojman]

Dlaczego jest niedobre?

U Ciebie wygląda tak jakbyś rozkład \(\displaystyle{ T_2}\) traktował jako dyskretny, a tak nie można bo wiadomo, że on będzie ciągły i \(\displaystyle{ P(T_2=x)=0.}\)

Pokaż jak liczysz splot, weź pod uwagę indykatory w gęstościach bo one mają różne argumenty.

[MakCis]

Zapewne mam błąd z tymi indykatorami. Liczę to dla funkcji gęstości \(\displaystyle{ f_1(x)=f_2(x) = \lambda e^{-\lambda x}}\) dla\(\displaystyle{ x in [0, infty)}\) czyli:

\(\displaystyle{ f(t) = (f_1 * f_2) (x) = \int_0^{ \infty} f_1(x)f_2(t-x) dx}\) co prowadzi właśnie do powyższego wyniku

[fon_nojman]

Źle piszesz splot. powinno być

\(\displaystyle{ \int_{-\infty}^{ \infty} f_1(x)f_2(t-x) dx}\)

i teraz wstawiasz \(\displaystyle{ f_1(x)=1_{[0,infty)}(x)lambda e^{-lambda x}, f_2(t-x)=1_{[0,infty)}(t-x)lambda e^{-lambda (t-x)}.}\)

[MakCis]

Pierwszy indykator jest równy \(\displaystyle{ 1}\) gdy \(\displaystyle{ x>0}\) zaś drugi gdy \(\displaystyle{ x \le t}\) zatem całkujemy w granicach od \(\displaystyle{ 0}\) do \(\displaystyle{ t}\) ?

Jeśli to będzie ok to dostaję już poprawny wynik. Mam jeszcze pytanie, co zrobić gdybyśmy chcieli policzyć rozkład \(\displaystyle{ X_1 + X_2 + ... + X_n}\)?

\(\displaystyle{ X_1 + X_2}\) już mam, zatem mogę policzyć \(\displaystyle{ (X_1 + X_2) + X_3}\) itd. aż do momentu gdy zobaczę regułę jak powstają takie rozkłady i potem ewentualnie dowód indukcyjny?

Czy jest może jakiś szybszy sposób?-- 27 października 2012, 13:57 --Robiąc to powyższą metodą otrzymałem, że

\(\displaystyle{ f_{X_1+...+X_n}(x) = \lambda^n e^{- \lambda x} \frac{x^{n-1}}{(n-1)!}}\)

ale jest to jednak dość żmudne i pracochłonne. Poza tym, nie zawsze mogę mieć pewność, że uda mi się odgadnąć postać rozkładu dla dowolnego \(\displaystyle{ n}\) mając kilka pierwszych (jak to już mam to potem dowód indukcyjny nie jest żadnym problemem).

Czy jest zatem jeszcze jakaś inna metoda na takie ogólne sumy rozkładów?

[fon_nojman]

Pierwszy indykator jest równy \(\displaystyle{ 1}\) gdy \(\displaystyle{ x>0}\) zaś drugi gdy \(\displaystyle{ x \le t}\) zatem całkujemy w granicach od \(\displaystyle{ 0}\) do \(\displaystyle{ t}\) ?

Dobrze, i pamiętaj że dla \(\displaystyle{ t<0}\) całka będzie zerem.

Gęstość wyszła prawidłowa, jest to tzw rozkład Erlanga.

Szybsza metoda jest np przez funkcje charakterystyczne rozkładu wtedy dla niezależnych \(\displaystyle{ X_1,\ldots ,X_n}\) mamy

\(\displaystyle{ \varphi_{X_1+\ldots+X_n}=\varphi_{X_1}\cdot\ldots\cdot\varphi_{X_n},}\)

jest szybsza jeżeli wie się jak wygląda funkcja charakterystyczna danego rozkładu.

Tak samo z funkcją tworzącą momenty.

[MakCis]

Ok dzięki wielkie za pomoc.

Słyszałem też o tej metodzie z funkcjami charakterystycznymi i funkcjami tworzącymi momenty. Możesz mi powiedzieć czym te dwie metody się różnią oraz czy istnieją sposoby wyznaczania takich funkcji? Co one w ogóle opisują?-- 27 października 2012, 14:59 --W ogóle to jak z tych funkcji odczytać rozkład naszej zmiennej losowej? Np. załóżmy, że znamy \(\displaystyle{ \varphi_{X_1+\ldots+X_n}=\varphi_{X_1}\cdot\ldots\cdot\varphi_{X_1}}\) i jak stąd wyznaczyć rozkład tej sumy zmiennych losowych?

[fon_nojman]

Definicje funkcji charakterystycznej i tworzącej momenty masz tutaj:,

Problem jest taki, że często wyliczenie takiej funkcji nie jest proste.

Np dla funkcji charakterystycznej \(\displaystyle{ \varphi}\), jeżeli już wyznaczymy poszczególne funkcje \(\displaystyle{ \varphi_{X_1},\ldots,\varphi_{X_n}}\) to jest taka własność, że dla niezależnych zmiennych losowych zachodzi właśnie to co podałem wcześniej \(\displaystyle{ \varphi_{X_1+\ldots+X_n}=\varphi_{X_1}\cdot\ldots\cdot\varphi_{X_n}}\) czyli mamy funkcje charakterystyczną sumy zmiennych. Jest takie twierdzenie (niebanalne) że funkcja charakterystyczna jednoznacznie wyznacza rozkład, czyli jeżeli ją mamy to wiemy jaki jest rozkład danej zmiennej. Podobnie jest dla funkcji tworzącej momenty.

Więcej info znajdziesz w książkach od Rachunku (Teorii) Prawdopodobieństwa np Jakubowskiego, Sztencla.

[MakCis]

Jest takie twierdzenie (niebanalne) że funkcja charakterystyczna jednoznacznie wyznacza rozkład, czyli jeżeli ją mamy to wiemy jaki jest rozkład danej zmiennej. Podobnie jest dla funkcji tworzącej momenty.

No właśnie, jak już mamy tą funkcje \(\displaystyle{ \varphi_{X_1+\ldots+X_n}}\) to jak z niej odczytać rozkład? W internecie coś nic nie mogę znaleźć. Wiem, że możemy bez problemu znaleźć wartość oczekiwaną i wariancję, ale to chyba jeszcze nie wyznacza rozkładu jednoznacznie. Chyba, że to również nie jest banalne, to gdzieś doczytam.

Przed chwilą znalazłem, że gęstość możemy wyliczyć jako \(\displaystyle{ f(x) = \frac{1}{2 \pi} \int_{\mathbb{R}} e^{-itx} \varphi(t) dt}\). Kojarzysz coś takiego? Mam nadzieję, że to źródło nie kłamie .

[fon_nojman]

Ten wzór jest prawdziwy, oczywiście można z niego korzystać jeżeli chcesz mieć gęstość.

Swoją jeżeli mamy wszystkie momenty to kojarzę, że one tez wyznaczają jednoznacznie rozkład przy jakimś dodatkowym warunku ale więcej niestety nie pamiętam.

[MakCis]

A gdybyśmy chcieli zrobić podobne zadanie, tylko, że dla modelu dyskretnego? Np.:

Dla próby \(\displaystyle{ X_1,X_2,...,X_n}\) o rozkładzie dwupunktowym \(\displaystyle{ P(X_i = 1) = p = 1-P(X_i =
-1)}\):
(a) Znaleźć rozkład \(\displaystyle{ X_1 + X_2}\).
(b) Znaleźć rozkład \(\displaystyle{ X_1 + X_2 + ... + X_n}\).

Czy w a) należy zastosować takie podejście jak w pierwszym poście? Tylko, że nie mam jak pozbyć się zmiennej \(\displaystyle{ n}\).

[fon_nojman]

Teraz tak można postępować, jeżeli te zmienne są niezależne.

Podpowiedź, wyjdzie rozkład Bernoulliego.

[MakCis]

No tak, czyli dla\(\displaystyle{ X_1+X_2}\) mam \(\displaystyle{ P(X_1+X_2 = k) = P(X_1 = a)P(X_2= k-a)}\) i co z tym dalej zrobić?