Znajdowanie statystyk na podstawie rozkladu wykładniczego.

[fon_nojman]

Nie za dobrze

\(\displaystyle{ P(X_1+X_2 = k)=\sum_{i=0}^k P(X_1=i)P(X_2=k-i)=\ldots}\)

[MakCis]

Z tej sumy zostanie nam chyba tylko wyrażenie \(\displaystyle{ P(X_1 = 1)P(X_2=k-1)+P(X_1=k-1)P(X_2=1)}\) bo jeśli gdzieś mamy zero lub coś większego od jedynki to prawdopodobieństwo się zeruje. No ale nie wiem jak stąd wyciągnąć ten rozkład Bernoulliego.

[fon_nojman]

Nic się w tej sumie nie zeruje. Trzeba napisać ile konkretnie wynosi dowolny składnik \(\displaystyle{ P(X_1=i)P(X_2=k-i)}\) i wtedy będzie widać co zrobić.

[MakCis]

A ile to np. będzie \(\displaystyle{ P(X_i = 2)P(X_i = k-2)}\) ? Skoro ja mam to określone tylko dla \(\displaystyle{ X_i = \pm 1}\).

[fon_nojman]

Sorki za wprowadzenie w błąd, coś mi się pokręciło, że te zmienne mają rozkład Bernoulliego.

Zaraz zobaczymy co wyjdzie.

Zmienna \(\displaystyle{ Y=X_1+X_2}\) może przyjmować wartości \(\displaystyle{ -2,,0,2}\) czyli ma rozkład dyskretny i możemy łatwo go wypisać

\(\displaystyle{ P(Y=-2)=P(X_1=-1)P(X_2=-1)=(1-p)^2= {2 \choose 0} (1-p)^2}\)

\(\displaystyle{ P(Y=0)=P(X_1=-1)P(X_2=1)+P(X_1=1)P(X_2=-1)=2p(1-p)={2 \choose 1} p(1-p)}\)

\(\displaystyle{ P(Y=2)=P(X_1=1)P(X_2=1)=p^2= {2 \choose 2} p^2.}\)

Czyli nie dostajemy dokładnie Bernoulliego ale coś podobnego, Bernoulli byłby dla zmiennych \(\displaystyle{ X_1,X_2}\) o tzw rozkładzie zero-jedynkowym.

[MakCis]

Jeśli chcemy zatem mieć ostatecznie rozkład sumy tych dwóch zmiennych losowych to musimy jeszcze to wszystko do siebie dodać. Problem tylko w tym, że w oczywisty sposób sumuje się to do jedynki (jako dwumian Newtona). No i ogólnie dla zmiennej losowej \(\displaystyle{ Y_n(X_1,...,X_n) = X_1+...+X_n}\) mamy, że \(\displaystyle{ P(Y_n = k) = \sum_{0}^{n} {n \choose k} p^k (1-p)^{n-k} = 1}\) co można zapewne udowodnić indukcyjnie.

Nie wiem czy gdzieś popełniam błąd w rozumowaniu czy rzeczywiście tak to ma wyjść?

[fon_nojman]

Nie musimy już nic do siebie dodawać. W rozkładzie dyskretnym wystarczy po prostu wypisać prawdopodobieństwa dla danych wartości zmiennej \(\displaystyle{ X,}\) tak jak to zrobiłem.

[MakCis]

No tak, bzdury piszę.

Czy wobec tego możemy napisać ogólny wzór na \(\displaystyle{ P(Y_n = k)}\)? Próbowałem kombinować że \(\displaystyle{ P(Y_n=k) = {n \choose| k|} p^{n-|k|} (1-p)^n}\), ale to nie będzie poprawne dla \(\displaystyle{ Y=2}\) oraz \(\displaystyle{ Y=0}\). Należy może zatem rozpatrzyć dwa przypadki, tzn. gdy \(\displaystyle{ n}\) jest liczbą parzystą i nieparzystą oraz ujemną lub dodatnią (i zerem w przypadku \(\displaystyle{ n}\) parzystego) ? Czy da się może łatwiej?

[fon_nojman]

Ja mam taki pomysł, \(\displaystyle{ Y_n\in \{-2n,\ldots,2n\},}\)

\(\displaystyle{ P(Y_n=2k)= {2n \choose n+k}p^{n+k}(1-p)^{n-k},\ k\in \{-n,\ldots,n\}.}\)