Próbuję je rozwiązać niewprost w ten sposób:Niech \(\displaystyle{ A_k}\) będzie zbiorem liczb naturalnych podzielnych przez \(\displaystyle{ k}\). Wykazać, że na \(\displaystyle{ \mathbb{N}}\) nie istnieje takie prawdopodobieństwo \(\displaystyle{ P}\), że \(\displaystyle{ P(A_k) = 1/k}\) dla \(\displaystyle{ k > 1}\).
Jeśli istnieje prawdopodobieństwo opisane w zadaniu, to musi ono spełniać aksjomaty.
Zatem z przeliczalnej addytywności otrzymuję:
\(\displaystyle{ P(A_k) = P(\left\{ n \in \mathbb{N} : k | n\right\} ) = P (\left\{ k, 2k, 3k, ...\right\} ) = P(\left\{ k\right\} ) + P(\left\{ 2k\right\} ) + P(\left\{ 3k\right\} ) + ... = \sum_{i = 1}^{+ \infty } P(\left\{ ik\right\} )}\)
Szereg ten jest szeregiem o wyrazach z przedziału \(\displaystyle{ \left[ 0, 1\right]}\) i ma być on zbieżny do \(\displaystyle{ 1/k}\), stąd wniosek, [z którego po edycji się wycofuję].
Niekoniecznie muszę każdemu składnikowi szeregu przypisywać równego prawdopodobieństwa, bo nie ma takiego aksjomatu, prawda?
Co dalej? Proszę o podpowiedź!
Pozdrawiam!