Istnienie prawdopodobieństwa

[gblablabla]

Mam takie zadanko:

Niech \(\displaystyle{ A_k}\) będzie zbiorem liczb naturalnych podzielnych przez \(\displaystyle{ k}\). Wykazać, że na \(\displaystyle{ \mathbb{N}}\) nie istnieje takie prawdopodobieństwo \(\displaystyle{ P}\), że \(\displaystyle{ P(A_k) = 1/k}\) dla \(\displaystyle{ k > 1}\).

Próbuję je rozwiązać niewprost w ten sposób:
Jeśli istnieje prawdopodobieństwo opisane w zadaniu, to musi ono spełniać aksjomaty.
Zatem z przeliczalnej addytywności otrzymuję:

\(\displaystyle{ P(A_k) = P(\left\{ n \in \mathbb{N} : k | n\right\} ) = P (\left\{ k, 2k, 3k, ...\right\} ) = P(\left\{ k\right\} ) + P(\left\{ 2k\right\} ) + P(\left\{ 3k\right\} ) + ... = \sum_{i = 1}^{+ \infty } P(\left\{ ik\right\} )}\)

Szereg ten jest szeregiem o wyrazach z przedziału \(\displaystyle{ \left[ 0, 1\right]}\) i ma być on zbieżny do \(\displaystyle{ 1/k}\), stąd wniosek, [z którego po edycji się wycofuję].
Niekoniecznie muszę każdemu składnikowi szeregu przypisywać równego prawdopodobieństwa, bo nie ma takiego aksjomatu, prawda?

Co dalej? Proszę o podpowiedź!

Pozdrawiam!

[tometomek91]

tu było złe rozumowanie..

[Zordon]

Szereg ten jest szeregiem o wyrazach z przedziału \(\displaystyle{ \left[ 0, 1\right]}\) i ma być on zbieżny do \(\displaystyle{ 1/k}\), stąd wniosek, że w tym szeregu jest nieskończenie wiele zer i skończenie wiele składników różnych od zera.

To nie jest prawda.
Ogólnie, to zadanie jest wbrew pozorom bardzo trudne.

[gblablabla]

A racja! Istnieją szeregi o wyrazach tylko dodatnich zbieżne. Więc co począć? ;p

-- 26 paź 2012, o 12:07 --

Dlaczego nie można tak:
\(\displaystyle{ P(\left\{ 5k\right\} ) : = 1/k \\ P(\left\{ ik\right\} ) := 0, i \in \mathbb{N} \setminus \left\{ 5\right\}}\)-- 26 paź 2012, o 12:20 --Innymi słowy, czemu tego prawdopodobieństwa nie mogę dobrać jak chcę i sprawdzić aksjomaty?

[Mistrz]

Szkic dowodu będzie taki:
1. Przypuśćmy nie wprost, że istnieje prawdopodobieństwo o własnościach danych w zadaniu.
2. Udowodnijmy (z definicji niezależności), że zdarzenia \(\displaystyle{ A_{p_1}, A_{p_2},\dots}\), gdzie \(\displaystyle{ \{p_1, p_2, \dots\}}\) to zbiór wszystkich liczb pierwszych, są niezależne.
3. Udowodnijmy (np. tak jak zrobił to Euler), że suma prawdopodobieństw tych zdarzeń jest nieskończona, czyli że szereg \(\displaystyle{ \sum_{n\ge 1} \frac{1}{p_n}}\) jest rozbieżny do nieskończoności.
4. Skorzystajmy z lematu Borela-Cantellego aby otrzymać, że prawie na pewno zachodzi nieskończenie wiele spośród tych zdarzeń.
5. Oczywista sprzeczność dowodzi tezy zadania.

[mat_61]

A nie wystarczy pokazać, że niezależne są zdarzenia \(\displaystyle{ A_2, A_3, A_{5}}\) oraz \(\displaystyle{ P(A_2)+P(A_3)+P(A_5)= \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} = \frac{31}{30} >1}\)

[Zordon]

Niezależność nie oznacza, że zdarzenia są rozłączne. Wprost przeciwnie, tutaj zdecydowanie nie są.

[Django]

A nie wystarczy pokazać, że niezależne są zdarzenia \(\displaystyle{ A_2, A_3, A_{5}}\) oraz \(\displaystyle{ P(A_2)+P(A_3)+P(A_5)= \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} = \frac{31}{30} >1}\)

Zapewne pomyliłeś niezależność zdarzeń z rozłącznością zdarzeń. Otóż zdarzenia \(\displaystyle{ A_2,A_3,A_5}\) nie są rozłączne (np. liczba 30 należy do każdego z tych zbiorów), zatem to co napisałeś nie jest prawdziwe (tzn. nie daje sprzeczności wymaganej w zadaniu).

[mat_61]

Oczywiście masz rację (chyba w mojej głowie grasuje jakaś pomroczność ). Dziękuję za zwrócenie uwagi.

[Django]

No to szanowny Mistrzu, wedle Twego planu:
1. Niech będzie że \(\displaystyle{ P(A_k) = 1/k}\) dla \(\displaystyle{ k \ge 1}\)
2. Weźmy \(\displaystyle{ P(A_p_i)}\) oraz \(\displaystyle{ P(A_p_j)}\) gdzie \(\displaystyle{ p_i,p_j}\) są dowolnymi liczbami pierwszymi, dla \(\displaystyle{ i,j \in {1,2,...}}\). Mamy, że \(\displaystyle{ P(A_p_i \cap A_p_j) = P(A_{(p_i \cdot p_j)}) = \frac{1}{p_i \cdot p_j}}\). A także, \(\displaystyle{ P(A_p_i) \cdot P(A_p_j) = \frac{1}{p_i p_j}}\)
Czyli pokazaliśmy że zdarzenia są niezależne.
3. Nie będę przepisywał dowodu, gdyż ten jest choćby na wikipedii.
4. Korzystamy z drugiego lematu Borela-Cantellego, na mocy którego prawdopodobieństwa zajścia nieskończenie wielu spośród zdarzeń \(\displaystyle{ A_1,A_2,...}\) wynosi 1, a to sprzeczność, gdyż miały one wynosić \(\displaystyle{ 1/k}\) dla \(\displaystyle{ k \in N}\).

[gblablabla]

Dziękuję, nie do końca rozumiem wniosku z lematu Borela-Cantellego.

Zgodnie z autorami podręcznika \(\displaystyle{ \omega \in \limsup _{n \rightarrow + \infty} A_{p_{n}} \Rightarrow \omega}\) należy do nieskończenie wielu wyrazów ciągu \(\displaystyle{ \left( A_{p_{n}}\right)_{n=1}^{+\infty}}\), (od tego miejsca już moje rozumowanie) znaczy to więc, że \(\displaystyle{ \omega}\) jest liczbą naturalną (jako element iloczynu podzbiorów zbioru \(\displaystyle{ \mathbb{N}}\)) podzielną przez nieskończenie wiele liczb pierwszych, więc \(\displaystyle{ \omega = + \infty \notin \mathbb{N}}\). Czy tu nie ma już jakiejś prostej sprzeczności?

Zgodnie z Twoim wnioskiem (prawie na pewno zachodzi nieskończenie wiele spośród tych zdarzeń), Mistrzu, sprzeczności nie dostrzegam, gdyż nie wiem jak wykorzystujesz tu rozbieżny szereg prawdopodobieństw tych zdarzeń. Próbowałem zastosować przeliczalną addytywność, nie udało się. Kombinowałem z zasadą włączeń i wyłączeń, ale chyba nie o to tu chodzi. Poza tym nie rozumiem dlaczego "prawie na pewno" te zdarzenia zachodzą, a nie rozpatruje się ich iloczynu.

\(\displaystyle{ \limsup _{n \rightarrow + \infty} A_{p_{n}} := A_{p_a} \cap A_{p_b} \cap \ldots}\)
Z lematu:
\(\displaystyle{ P \left( \limsup _{n \rightarrow + \infty} A_{p_{n}} \right) = 1 \\
P \left( \limsup _{n \rightarrow + \infty} A_{p_{n}} \right)
= P \left( A_{p_a} \cap A_{p_b} \cap \ldots \right) = \frac{1}{p_a \cdot p_b \cdot \ldots} = \frac{1}{+ \infty}}\)

Pozdrawiam serdecznie i proszę o odpowiedź

[Mistrz]

nie wiem jak wykorzystujesz tu rozbieżny szereg prawdopodobieństw tych zdarzeń

To jest potrzebne, żeby spełnić założenia lematu Borela-Cantellego.

Sprzeczność polega na tym, że mamy zdarzenie \(\displaystyle{ A = \limsup A_{p_n}}\), dla którego mamy \(\displaystyle{ P(A) = 1}\) (to jest teza lematu), a z drugiej strony \(\displaystyle{ A}\) jest zbiorem tych liczb, które są podzielne przez nieskończenie wiele liczb pierwszych, czyli \(\displaystyle{ A = \emptyset}\), zatem \(\displaystyle{ P(A)=0}\).

[gblablabla]

Racja, nie zwróciłem uwagi na to założenie.
Czyli mamy sprzeczność, bo nie istnieje liczba naturalna podzielna przez nieskończenie wiele liczb pierwszych.
Dziękuję!

Btw. sam doszedłeś do tego dowodu?

[Mistrz]

sam doszedłeś do tego dowodu?

Dostaliśmy to jako zadanie domowe w zeszłym semestrze i z tego co pamiętam udało mi się zrobić samemu

[gblablabla]

To gratuluję! Ja prawdopodobieństwo mam dopiero w przyszłym semestrze, ale już teraz się interesuje, bo to ciekawsze niż niektóre inne przedmioty.

Chciałbym też zapytać jak nauczyć się przeprowadzać tak trudne dowody, ale chyba sam sobie odpowiem - trening czyni mistrza i wrócę do dość schematycznych (ale jeszcze nieogarniętych) zadań z algebry abstrakcyjnej.

Pozdrawiam!