Mam problem z zadaniem: zmienne losowe X i Y są niezależne i mają standardowy rozkład normalny \(\displaystyle{ N \left( 0,1 \right)}\). Znaleźć rozkład zmiennej losowej \(\displaystyle{ \frac{Y}{|X|}}\).
Próbowałam rozwiązywać to szukając dystrybuanty:
\(\displaystyle{ P \left( \frac{Y}{|X|} \le t \right) =P \left( Y\le|X|t \right) = P \left( Y\le tX, X >0 \right) +P \left( Y\le -tX, X<0 \right)}\).
Problem w tym, że nie wiem, jak dalej to pociągnąć. Próbowałam coś kombinować ze splotem, przekształcając np. \(\displaystyle{ P \left( Y\le tX, X >0 \right) =P \left( tX-Y>0, X>0 \right)}\) i szukając gęstości \(\displaystyle{ tX-Y}\), ale i tak nie za bardzo widzę, jak to wykorzystać do obliczenia \(\displaystyle{ P \left( tX-Y>0, X>0 \right)}\).
A może trzeba to zrobić jakoś inaczej, bez dystrybuanty?
iloraz zmiennych losowych
-
jsf
- Użytkownik
- Posty: 44
- Rejestracja: 3 wrz 2012, o 18:32
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Komorów k. W-wy
- Pomógł: 17 razy
iloraz zmiennych losowych
A nie powininnaś tam przypadkiem warunkować? Czyli
\(\displaystyle{ \mathbb{P}(Y \leq |X|t)=\mathbb{P}(Y \leq Xt|X>0)+\mathbb{P}(Y \leq -Xt|X \leq 0).}\)
\(\displaystyle{ \mathbb{P}(Y \leq |X|t)=\mathbb{P}(Y \leq Xt|X>0)+\mathbb{P}(Y \leq -Xt|X \leq 0).}\)
-
malezja
- Użytkownik
- Posty: 11
- Rejestracja: 1 paź 2012, o 12:52
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 1 raz
iloraz zmiennych losowych
No raczej mi się wydaje, że jeśli już warunkować, to w ten sposób:
\(\displaystyle{ \mathbb{P}(Y \leq |X|t)=\mathbb{P}(Y \leq Xt|X>0)\cdot P(X>0)+\mathbb{P}(Y \leq -Xt|X \leq 0)\cdot P(X<0).}\)
Ale nie potrafię policzyć \(\displaystyle{ P(Y\le Xt|X>0)}\) niestety.
Spróbowałam zrobić to inaczej i coś mi wyszło, ale dość skomplikowany wynik niestety i niejawny. W rozwiązaniu \(\displaystyle{ f(x,y)=g(x)g(y)}\), gdzie \(\displaystyle{ g(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^{2}}{2}}}\).
\(\displaystyle{ P(\frac{Y}{|X|}\le t)= \int\int_{\{Y\le t|X|\}}f(x,y)dxdy=\int\int_{\{Y\le tX,X>0\}}f(x,y)dxdy+\int\int_{\{Y\le tX,X<0\}}f(x,y)dxdy =\int_{0}^{+\infty}\int_{-\infty}^{tx}\frac{1}{2\pi}e^{-\frac{x^{2}+y^{2}}{2}}dxdy=\frac{2}{\sqrt{2\pi}}\int_{0}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot \Phi(tx)dx,}\)
gdzie \(\displaystyle{ \Phi(z)}\) jest dystrybuantą standardowego rozkładu normalnego. Jest to już jakiś wynik, ale niejawny. CZy da się go jakoś poprawić, żeby dystrybuanta wyszła ładna (bez całek?)?
\(\displaystyle{ \mathbb{P}(Y \leq |X|t)=\mathbb{P}(Y \leq Xt|X>0)\cdot P(X>0)+\mathbb{P}(Y \leq -Xt|X \leq 0)\cdot P(X<0).}\)
Ale nie potrafię policzyć \(\displaystyle{ P(Y\le Xt|X>0)}\) niestety.
Spróbowałam zrobić to inaczej i coś mi wyszło, ale dość skomplikowany wynik niestety i niejawny. W rozwiązaniu \(\displaystyle{ f(x,y)=g(x)g(y)}\), gdzie \(\displaystyle{ g(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^{2}}{2}}}\).
\(\displaystyle{ P(\frac{Y}{|X|}\le t)= \int\int_{\{Y\le t|X|\}}f(x,y)dxdy=\int\int_{\{Y\le tX,X>0\}}f(x,y)dxdy+\int\int_{\{Y\le tX,X<0\}}f(x,y)dxdy =\int_{0}^{+\infty}\int_{-\infty}^{tx}\frac{1}{2\pi}e^{-\frac{x^{2}+y^{2}}{2}}dxdy=\frac{2}{\sqrt{2\pi}}\int_{0}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot \Phi(tx)dx,}\)
gdzie \(\displaystyle{ \Phi(z)}\) jest dystrybuantą standardowego rozkładu normalnego. Jest to już jakiś wynik, ale niejawny. CZy da się go jakoś poprawić, żeby dystrybuanta wyszła ładna (bez całek?)?
-
jsf
- Użytkownik
- Posty: 44
- Rejestracja: 3 wrz 2012, o 18:32
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Komorów k. W-wy
- Pomógł: 17 razy
iloraz zmiennych losowych
Kiedy pisałem poprzedniego posta, miałem głębokie przeczucie, że coś piszę źle - błąd dobrze wyłowiłaś.
Dystrybuanta jest jaka jest (zakładając, że dobrze to policzyłaś, a wygląda na pierwszy rzut oka na OK). Dystrybuanta rozkładu normalnego jest dosyć nieprzyjemną funkcją, więc jak tworzysz jakiś rozkład jako funkcję dwóch normalnych, to możesz się spodziewać, że wynik będzie niezbyt ładny. Jest szansa, że ładna będzie gęstość - zróżniczkuj sobie dystrybuantę po \(\displaystyle{ t}\), będziesz mogła wejść z różniczkowaniem pod znak całki i wtedy może jakieś ładniejsze wyniki dostaniesz.
Dystrybuanta jest jaka jest (zakładając, że dobrze to policzyłaś, a wygląda na pierwszy rzut oka na OK). Dystrybuanta rozkładu normalnego jest dosyć nieprzyjemną funkcją, więc jak tworzysz jakiś rozkład jako funkcję dwóch normalnych, to możesz się spodziewać, że wynik będzie niezbyt ładny. Jest szansa, że ładna będzie gęstość - zróżniczkuj sobie dystrybuantę po \(\displaystyle{ t}\), będziesz mogła wejść z różniczkowaniem pod znak całki i wtedy może jakieś ładniejsze wyniki dostaniesz.