zmienna losowa typu ciągłego

[mariuszK3]

przyjmijmy że rozkład czasu oczekiwania na obsługę w kolejce na pewnej stacji benzynowej opisuje funkcja gęstości następującej postaci

\(\displaystyle{ f\left( x\right) =
\left\{\begin{array}{l} 0 , dla x < 0\\-0,02x + 0,2 , dla 0 \le x \le 10 \\0 , dla x> 10 \end{array}}\)

a) wykaż że powyższa funkcja jest rzeczywiście funkcją gęstości
b) ile wynosi prawdopodobieństwo tego że czas oczekiwania w kolejce będzie równy 3 minuty?
c) oblicz prawdopodobieństwo tego że czas oczekiwania w kolejce będzie krótszy od 6 minut, zawarty w przedziale od 1 do 5

i chodzi mi głównie o pierwsze dwa podpunkty i o to jak to zrobić bez pomocy całek

[tometomek91]

a) jest nieujemna i całkuje się do jedynki
b) zero
c) \(\displaystyle{ P(X<6)=F(6)=\int_{\infty}^{6}g(x)dx}\) podobnie pozostała część

[mariuszK3]

a jak inaczej wykazać to w a? chodzi mi ze bez całek jak? no i czemu w b 0?

[tometomek91]

a jak inaczej wykazać to w a? chodzi mi ze bez całek jak?

Można policzyć pole pod wykresem i wyjdzie jeden, albo jeszcze inaczej - wskazać dwie miary \(\displaystyle{ \mu}\) i \(\displaystyle{ \nu}\) takie, że \(\displaystyle{ d \mu (x)=f(x) d \nu (x)}\) i skorzystać z twierdzenia Radona-Nikodyma.

no i czemu w b 0?

To logiczne. Nigdy nie zdarzy się tak, że będziesz czekać równo trzy minuty
Formalnie: gęstość jest ciągła na odcinku \(\displaystyle{ [0,10]}\), więc dystrybuanta nie ma na tym odcinku atomów, czyli dla każdego punktu \(\displaystyle{ a \in [0,10]}\) mamy \(\displaystyle{ \mu( \{a \})=0}\).