dziwna funkcja

[malezja]

Zmienne \(\displaystyle{ X,Y,Z}\) są niezależne, \(\displaystyle{ X,Y}\) mają rozkład wykładniczy o tym samym parametrze \(\displaystyle{ \lambda}\), natomiast \(\displaystyle{ Z}\) ma rozkład dwupunktowy, \(\displaystyle{ P(Z=0)=p}\),
\(\displaystyle{ P(Z=1)= 1-p}\), gdzie \(\displaystyle{ 0<p<1}\). Wyznaczyć rozkład zmiennej \(\displaystyle{ \frac{X}{X+YZ}}\).

Pomoże ktoś?

[lokas]

Zadanie nie jest takie trudne jak się wydaje, skożystaj z twierdzenia o prawdopodobieństwie całkowitym
\(\displaystyle{ F _{T} \left( t \right) = P \left( T \le t \right) =P \left( \frac{X}{X+YZ} \le t \right) =\\
=P \left( \frac{X}{X+YZ} \le t | Z=0 \right) \cdot P \left( Z=0 \right) +P \left( \frac{X}{X+YZ} \le t | Z=1 \right)}\)\(\displaystyle{ \cdot P \left( Z=1 \right)=\\
=p \cdot P \left( 1\le t \right) + \left( 1-p \right) \cdot P \left( \frac{X}{X+Y} \le t \right)}\)

Skąd inąd wiadomo, że twoja zmienna ma rozkład mieszany. Dalej z rachunkami już sobie powinieneś poradzić