Rzut kostką - sprawiedliwa gra?

[Tomaszko]

Witam. Mamy następujący problem:

Bankier proponuje nam prostą grę. Jej reguły są następujące:
1. rzucamy raz standardową kostką sześcienną,
2. bankier zapłaci nam tyle złotych, ile oczek wyrzuciliśmy.
3. za możliwość uczestnictwa w grze musimy jednak wnieść pewną opłatę.

Pytanie dotyczy wysokości tej opłaty, a mianowicie ile powinna wynosić opłata za grę, aby gra była sprawiedliwa dla obydwu stron?

[pyzol]

Można by było założyć, że sprawiedliwie będzie gdy wartość oczekiwana zmiennej losowej:
\(\displaystyle{ X-o}\), gdzie \(\displaystyle{ o}\) oznacza opłatę, wyniesie \(\displaystyle{ 0}\).

[Tomaszko]

Przy tym rozumowaniu wpisowe do gry wynosiłoby 3,50 zł (tak na "chłopski rozum" licząc byłaby to też średnia z dwóch skrajnych przypadków, tzn. najlepszego dla bankiera - 1 oczka; i najlepszego dla gracza - 6 oczek).
Jeśli będziemy zwiększali liczbę rzutów kostką, to czy to rozumowanie będzie dalej poprawne?

[pyzol]

W tym przypadku akurat to średnia arytmetyczna, jednak czasem trzeba się naliczyć.

Jeśli będziemy zwiększali liczbę rzutów kostką, to czy to rozumowanie będzie dalej poprawne?

O tym mówi prawo wielkich liczb.