Rozkład nowej zmiennej losowej

[MakCis]

Niech \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\) beda niezaleznymi zmiennymi losowymi o rozkładach o gestosci
odpowiednio \(\displaystyle{ f_X(x)}\) i \(\displaystyle{ f_Y (y)}\). Jaka postac ma rozkład zmiennej losowej \(\displaystyle{ Z}\) gdy
1. \(\displaystyle{ Z = X - Y}\)

Muszę zapewne wyjść z faktu, że \(\displaystyle{ F_Z(z) = P(Z \le z) = P(X-Y \le z)}\). Ale co zrobić dalej? Nie mam żadnych ograniczeń dla zmiennych \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\)...

[tometomek91]

\(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\) niezależne, więc gęstość zmiennej \(\displaystyle{ X+Y}\) to \(\displaystyle{ f_X * f_Y}\) - splot gęstości zdefiniowany jako
\(\displaystyle{ (f_X * f_Y)(u)=\int_{-\infty}^{\infty} f_X(y-u)f_Y(y)dy}\).
Więc jeśli znajdziemy gęstość \(\displaystyle{ (-Y)}\), to łatwo policzymy gęstość \(\displaystyle{ X-Y=X+(-Y)}\) jako splot \(\displaystyle{ f_X * f_{(-Y)}}\).
No to pytanie: jaką gęstość ma \(\displaystyle{ (-Y)}\)?

Albo tym Twoim sposobem:
Gęstość wektora losowego \(\displaystyle{ (X,Y)}\), to \(\displaystyle{ f(x,y)=f_X(x)f_Y(y)}\), zatem \(\displaystyle{ P(X-Y<z)=\iint_{ \{x-y<z \} } f(x,y)dxdy}\).

[MakCis]

Gęstość wektora losowego \(\displaystyle{ (X,Y)}\), to \(\displaystyle{ f(x,y)=f_X(x)f_Y(y)}\)

To oczywiście wynika z niezależności prawda?

Czy z tą całką da się coś jeszcze zrobić?

[tometomek91]

To oczywiście wynika z niezależności prawda?

Tak.

Czy z tą całką da się coś jeszcze zrobić?

Nie - nie znamy funkcji \(\displaystyle{ f_X}\) i \(\displaystyle{ f_Y}\).

[MakCis]

Ale nawet gdybyśmy znali te funkcje, to i tak by chyba nic nie dało - nie znamy obszaru całkowania.

[tometomek91]

Znamy obszar całkowania: \(\displaystyle{ D=\{ (x,y):\ x-y<z \}}\) dla ustalonego \(\displaystyle{ z \in \RR}\).

[MakCis]

Moglibyśmy więc zamienić całkę podwójną na dwie pojedyncze? Jeśli tak to w jaki sposób?