Kule w urnie

[ew93]

Potrafiłby ktoś może rozwiązać to zadanie?
W urnie jest \(\displaystyle{ n}\) kul, w tym \(\displaystyle{ 5}\) białych. Jakie powinno być \(\displaystyle{ n}\), aby przy losowaniu dwóch kul bez zwracania prawdopodobieństwo dwukrotnego wylosowania kuli białej było nie mniejsze od \(\displaystyle{ \frac{2}{3}}\)?

[mat_61]

Wskazówka:

Oblicz ile jest wszystkich możliwych zdarzeń oraz ile jest zdarzeń sprzyjających (kombinacje). W jednym z wyrażeń będziesz miała wartość \(\displaystyle{ n}\)

Następnie oblicz \(\displaystyle{ P(A)}\) oraz rozwiąż nierówność \(\displaystyle{ P(A) \ge \frac{2}{3}}\)

[Kanodelo]

Narysuj sobie drzewko najlepiej. Ja to spróbuje opisać mniej wiecej jak:
Na początku mamy \(\displaystyle{ 5}\) białych, \(\displaystyle{ n-5}\) innych
Losujemy za pierwszym razem:
- inną - wtedy p-stwo wynosi \(\displaystyle{ \frac{n-5}{n}}\)
- białą - wtedy p-stwo wynosi \(\displaystyle{ \frac{5}{n}}\)

Za pierwszym razem wypadła inna, z adrugim
- inna - mamy p-stwo \(\displaystyle{ \frac{n-5-1}{n-1}}\), bo jedna już odpadła
- biała - mamy \(\displaystyle{ \frac{5}{n-1}}\)
Za pierwsyzm razem biała, za drugim
- inna - mamy \(\displaystyle{ \frac{n-5}{n-1}}\) (liczba innych sie nie zmieniła, bo wcześniej wylosowaliśmy białą)
- białą - mamy \(\displaystyle{ \frac{4}{n-1}}\)

P-stwo wylosowania dwukrotnego białej \(\displaystyle{ \frac{5}{n} \cdot \frac{4}{n-1} \ge \frac{2}{3}}\), wystarczy rozw. tą nierówność