Romek, Tomek, ławka rezerwowa

[dżi-unit]

Romek i Tomek są w grupie 10 uczniów, którzy na lekcji WF zostali w sposób losowy podzieleni na dwie czteroosobowe drużyny. Dwóch uczniów trafiło na ławkę rezerwowych. Ile wynosi prawdopodobieństwo, że Romek lub Tomek trafił na ławkę rezerwowych?

[mat_61]

Wskazówka:

To doświadczenie jest to równoważne z wyborem dwóch zawodników rezerwowych. Skorzystaj z p-stwa zdarzenia przeciwnego (żaden z wymienionych zawodników nie został wybrany jako rezerwowy).

[loitzl9006]

Używamy kombinacji - kolejność wyboru nie ma znaczenia.
Ławkę rezerwowych możemy ustalić na \(\displaystyle{ {10 \choose 2}}\) sposobów, pierwszą drużynę na \(\displaystyle{ {8 \choose 4}}\) sposobów, a pozostała czwórka stanowi drugą drużynę.

Teraz dzielimy dziesięcioosobową grupę na Romka, Tomka i ośmiu pozostałych.
Zdarzenie sprzyjające będzie spełnione, gdy:

- Romek będzie na ławce, a Tomek w I drużynie, wtedy do pierwszej drużyny będzie brakować jeszcze trzech zawodników, wybieramy ich na \(\displaystyle{ {8 \choose 3}}\) sposobów. Zostaje pięciu. Do drugiej drużyny wybieramy zawodników na \(\displaystyle{ {5 \choose 4}}\) sposobów. Niechciany, pozostały zawodnik będzie kolegą Romka na ławie (\(\displaystyle{ 1}\) sposób).
- Romek będzie na ławce, a Tomek w II drużynie, (analogiczne rozumowanie jak wyżej)
- Tomek będzie na ławce, a Romek w I drużynie, (tak samo)
- Tomek będzie na ławce, a Romek w II drużynie (tak samo).

Sposobem mat_61 : dzielisz ekipę na dwie grupy: Romka i Tomka (to jest pierwsza grupa), oraz ośmiu pozostałych (druga grupa). \(\displaystyle{ {8 \choose 2}}\) - na tyle sposobów możesz ustalić ławkę rezerwowych, Romka możesz wrzucić na dwa sposoby (będzie albo w pierwszej albo w drugiej drużynie) i Tomka dajesz do drużyny razem z Romkiem (jeden sposób). Zostaje wtedy jeszcze sześciu zawodników. Na \(\displaystyle{ {6 \choose 2}}\) sposobów dopełnimy pierwszą drużynę, zaś pozostała czwórka będzie drugą drużyną.
To był wariant z Tomkiem i Romkiem w jednym zespole. Teraz wariant, gdzie Tomek i Romek będą dla siebie przeciwnikami. Ławka wiadomo, na \(\displaystyle{ {8 \choose 2}}\) sposobów. Teraz Tomek i Romek. Albo pierwszy z nich w pierwszym zespole, a drugi w drugim, albo odwrotnie. Zatem \(\displaystyle{ 2}\) sposoby. Zostało sześciu zawodników. Teraz dopełnienie pierwszego zespołu - brakuje trzech, zatem na \(\displaystyle{ {6 \choose 3}}\) sposobów możesz uzupełnić pierwszą drużynę, a drugi zespół uzupełniasz pozostałą trójką.
Zostaje jeszcze wariant, w którym ławkę rezerwowych stanowią Tomek i Romek. Wybieramy ich na jeden sposób, pierwszą drużynę wybieramy spośród pozostałej ósemki na \(\displaystyle{ {8 \choose 4}}\) sposobów, drugą stanowi pozostała czwórka.
To już wszystkie możliwości zajścia zdarzenia przeciwnego.

Wynik wg mnie to \(\displaystyle{ P(A)= \frac{4 \cdot {8 \choose 3} \cdot {5 \choose 4} }{ {10 \choose 2} \cdot {8 \choose 4} } = 1- \frac{ {8 \choose 2} \cdot 2 \cdot {6 \choose 2} + {8 \choose 2} \cdot 2 \cdot {6 \choose 3} + {8 \choose 4}}{{10 \choose 2} \cdot {8 \choose 4} }=0.3(5)}\)

[mat_61]

loitzl9006, bardzo rozbudowane jest Twoje rozwiązanie, ale wg mnie brakuje tam jeszcze jednego wariantu tzn. zarówno Romek jak i Tomek są na ławce rezerwowych (spójnik LUB oznacza przecież, że na ławce może być albo tylko Romek, albo tylko Romek, albo obydwaj).

Tym samym w liczniku brakuje jeszcze wariantu \(\displaystyle{ {8 \choose 4}}\) co daje rozwiązanie:

\(\displaystyle{ P(A)= \frac{4 \cdot {8 \choose 3} \cdot {5 \choose 4} + {8 \choose 4} }{ {10 \choose 2} \cdot {8 \choose 4} }= \frac{17}{45}}\)

Natomiast w mojej wskazówce chodziło o to, że po prostu na początek wybieramy dwóch rezerwowych i koniec. Dalszy podział na drużyny nie ma już dla p-stwa żadnego znaczenia. Zdarzenie przeciwne jest takie, że żaden z wymienionych zawodników nie zostanie wybrany na rezerwowego, czyli \(\displaystyle{ |A'|= {8 \choose 2}}\) oraz:

\(\displaystyle{ P(A)=1-P(A')=1- \frac{ {8 \choose 2} }{ {10 \choose 2} } =\frac{17}{45}}\)

[loitzl9006]

Aha, rozumiem. Ja to uznałem za alternatywę wykluczającą (xor) ale to może moja nadinterpretacja.