Własności wartości oczekiwanej

[MakCis]

1. Niech \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\) beda dwoma zmiennymi losowymi. Przyjmijmy nastepujace
oznaczenia:
\(\displaystyle{ X \wedge Y = min(X, Y )}\) oraz \(\displaystyle{ X \vee Y = max(X, Y )}\).
Wykaz, ze
\(\displaystyle{ E(X \vee Y ) = EX + EY - E(X \wedge Y )}\).

2. Wykaz, ze dla ciagłej zmiennej losowej \(\displaystyle{ X}\) zachodzi równosc

\(\displaystyle{ min_a E|X - a| = E|X - m|}\),

gdzie \(\displaystyle{ m}\) jest mediana zmiennej losowej \(\displaystyle{ X}\).

3. Wykaz, ze
\(\displaystyle{ \frac{d}{da} E(X - a)2 = 0}\), wtedy i tylko wtedy gdy, \(\displaystyle{ EX = a}\).
Wypisz niezbedne załozenia na \(\displaystyle{ F_X}\) i \(\displaystyle{ f_X}\).

Tutaj udało mi się dojść do tego, że \(\displaystyle{ \frac{d}{da} E(X - a)2 = \frac{d}{da} (EX^2 - 2aEX + Ea^2) = -2EX + \frac{d}{da} Ea^2}\).
Jak teraz policzyć \(\displaystyle{ \frac{d}{da} Ea^2}\)?

[Adifek]

\(\displaystyle{ E(X \vee Y ) = EX + EY - E(X \wedge Y )}\)

Gdy zapiszesz to sobie tak:

\(\displaystyle{ E(X \vee Y ) + E(X \wedge Y ) = EX + EY}\)

To uzasadnienie robi się oczywiste:

\(\displaystyle{ E(X \vee Y ) + E(X \wedge Y )=E\left( (X \vee Y ) + (X \wedge Y )\right) = (*) =E(X+Y)=EX + EY}\)

\(\displaystyle{ (*)}\) - bo \(\displaystyle{ (X \vee Y ) + (X \wedge Y )=X+Y}\).

[MakCis]

Dałoby radę jakoś uzasadnić \(\displaystyle{ (*)}\)? Da się to zrobić jakoś formalnie?-- 7 października 2012, 19:45 --W sumie to uzasadnienie jest proste, już sobie z nim poradziłem. A ma ktoś może jeszcze pomysł lub wskazówkę na pozostałe zadania?

[Adifek]

\(\displaystyle{ \frac{d}{da} E(X-a)^{2}=\frac{d}{da}(EX^{2} - 2EaX +Ea^{2}) = \frac{d}{da}(EX^{2} -2aEX + a^{2}) = \\ \\ = 0 -2EX +2a =0 \Leftrightarrow 2a=2EX \Leftrightarrow a=EX}\)