Oczekiwana liczba dzieci

[MakCis]

Pewna para małzenska postanowiła miec kolejne dzieci tak długo, az urodzi im sie córka. Jaka jest oczekiwana liczba dzieci dla tej pary?

Trzeba zapewne skorzystać z jakiegoś centralnego twierdzenia granicznego. Tylko z którego i z jakimi parametrami?

[tometomek91]

Przeformułowane: rzucamy monetą tak długo aż uzyskamy reszkę. Jak długo rzucamy?
Niech \(\displaystyle{ X=k}\), gdy reszka pojawiła się w \(\displaystyle{ k}\)-tym rzucie. \(\displaystyle{ P(X=k)=\frac{1}{2^k}}\) czyli z definicji:
\(\displaystyle{ EX=\sum_{k=1}^{\infty} k \cdot \frac{1}{2^k}=2}\).

[MakCis]

Ok, ideę rozwiązania rozumiem. Czy da się jakoś policzyć tę sumę?

[tometomek91]

tak, oznacz \(\displaystyle{ x=\frac{1}{2}}\) i policz \(\displaystyle{ \frac{1}{2} \sum_k (x^k)'}\) korzystając z jednostajnej zbieżności szeregu.