Rozmieszczenie n kul w n urnach

[MakCis]

W sposób losowy rozmieszczono \(\displaystyle{ n}\) kul do \(\displaystyle{ n}\) urn, jakie jest prawdopodobienstwo
zdarzenia polegajacego na tym, że

1. wszystkie urny beda zajete,
2. dokładnie jedna urna pozostanie pusta,
3. co najmniej dwie urny beda puste.

W wszystkich podpunktach \(\displaystyle{ | \Omega | = n!}\)?

Ad 1.
\(\displaystyle{ n}\) kul w \(\displaystyle{ n}\) urnach możemy rozmieścić na \(\displaystyle{ 1}\) sposób zatem \(\displaystyle{ p_1= \frac{1}{n!}}\) ?

Ad 2.
Wybieramy najpierw jedną urnę która będzie pusta na \(\displaystyle{ n}\) sposobów. Następnie rozmieszczamy \(\displaystyle{ n}\) kul w \(\displaystyle{ n-1}\) urnach na\(\displaystyle{ n \choose n-1}\) sposobów zatem \(\displaystyle{ p_2 = \frac{ n \cdot {n \choose n-1}}{n!}}\)

Ad 3.
Podobnie jak w 2, ale tym razem wybieramy dwie urny z \(\displaystyle{ n}\) na \(\displaystyle{ {n \choose 2}}\) sposoby oraz rozmieszczamy \(\displaystyle{ n}\) kul w \(\displaystyle{ n-2}\) urnach na \(\displaystyle{ {n \choose n-2}}\) sposoby czyli \(\displaystyle{ p_3 = \frac{{n \choose 2} {n \choose n-2}}{n!}}\)

Czy jest dobrze?

[pyzol]

308655.htm#p4977367
257724.htm#p972871
Poczytaj te zadania.-- 7 paź 2012, o 14:12 --Edit: ewentualnie, gdy będziemy rozróżniać kule, możemy zastosować wariacje z powtórzeniami:
każdej kuli przypisujemy nr urny.

[MakCis]

Niestety, nadal nie za bardzo wiem jak to zrobić. Nigdy nie lubiłem zadań tego typu. Możesz mi powiedzieć co ja robię źle?

[pyzol]

Cały model jest źle niestety. Załóżmy, że są to kule rozróżnialne. Wtedy
\(\displaystyle{ |\Omega| =n^n}\)

[norwimaj]

ewentualnie, gdy będziemy rozróżniać kule

Nie mamy wyboru. Kule rozróżniamy.

[pyzol]

W sposób losowy rozmieszczono

"Losowy" można interpretować różnie, więc mamy wybór.

[MakCis]

A dlaczego kule rozróżniamy? Przecież wszystkie mogą być takie same i wtedy ich nie rozróżnimy...

[pyzol]

Jeśli rzucasz kości to mimo, że wyglądają identycznie, dajemy model, w którym są rozróżnialne.
Wynika to z badań. Tak pasują prawdopodobieństwa.
Mimo wszystko kule czymś się różnić będą.
Tutaj jest inny problem, bo rozmieszczanie tych kul zależy od osoby która to będzie robić. Na samym starcie może sobie więc ustalać: do pierwszej urny dam 3 kule... Wtedy model tyczyć się będzie kul nierozróżnialnych. Może jednak każdej kuli przypisywać nr urny.
Model z rozróżnianiem wygląda bardziej racjonalnie, szczególnie, że zadanie prawdopodobnie jest ze szkoły średniej, gdzie kombinacji z powtórzeniami nie ma.

[MakCis]

Zatem w 1. bedziemy mieli \(\displaystyle{ n!}\) możliwości rozmieszczenia tych kul tak aby warunki były spełnione?

A jak w 2. ? Skoro jedna ma być pusta to wybieramy ją na \(\displaystyle{ n}\) sposobów. Teraz pierwszą kulę możemy rozmieścić na \(\displaystyle{ n-1}\) sposobów, drugą na \(\displaystyle{ n-2}\) itd. aż w końcu ostatnią też na \(\displaystyle{ n-1}\) sposobów. Czyli w sumie\(\displaystyle{ n \cdot (n-1)! \cdot (n-1)=n! \cdot (n-1)}\) ??

[norwimaj]

Model z rozróżnianiem wygląda bardziej racjonalnie

Też tak myślę. Trudno mi jest sobie wyobrazić sposób rozmieszczania, żeby był schemat klasyczny dla kombinacji z powtórzeniami.

Zatem w 1. bedziemy mieli \(\displaystyle{ n!}\) możliwości rozmieszczenia tych kul tak aby warunki były spełnione?

Tak.

aż w końcu ostatnią też na \(\displaystyle{ n-1}\) sposobów.

A dlaczego akurat ostatnia kula ma być w jednej komórce z jakąś inną? Nie może być pierwsza w parze z drugą?

[MakCis]

czyli najpierw mam wziąć dwie kule na \(\displaystyle{ {n \choose 2}}\) sposoby które mogę rozmieścić w \(\displaystyle{ n-1}\) urnach? Resztę kul wiadomo jak, co ostatecznie da mi wynik \(\displaystyle{ {n \choose 2} (n-1)!}\)?

[norwimaj]

Tak jak wcześniej napisałeś, musimy wybrać komórkę, która będzie pusta. Ostatecznie \(\displaystyle{ \binom n2\cdot n!}\).

[MakCis]

A dlaczego nie uwzględniamy wyboru kul? Chodzi mi o to, że wybierając dwie pierwsze kule, mogliśmy to zrobić na \(\displaystyle{ {n \choose 2}}\) sposobów. Potem wybieralismy urnę. Następnie wybieramy kolejną kulę ( na \(\displaystyle{ n-1}\) sposobów) oraz urnę dla niej na \(\displaystyle{ n-2}\) sposobów itd. W rezultacie otrzymalibyśmy zupełnie inny wynik...

[pyzol]

Nie do końca rozumiem twój problem:
Policzę to jak Ty tu piszesz:
\(\displaystyle{ \binom{n}{2}}\)
Wybieramy teraz dla tych dwóch kul urnę na \(\displaystyle{ n}\) sposobów. Następnie bierzesz kulę i wybierasz urnę na \(\displaystyle{ n-1}\). Powtarzając to dojdziemy do ostatniej, którą będziemy mogli rozłożyć na \(\displaystyle{ 2}\) sposoby. I zostaje nam pusta urna. Czyli:
\(\displaystyle{ \binom{n}{2}n!}\), więc chyba ten sam wynik.

[MakCis]

Następnie bierzesz kulę

Chodzi mi o to, że tę kulę mogę też wziąć na "ileś" sposobów...