Prawdopodobieństwo w teście diagnostycznym

[pawellogrd]

Proszę o pomoc z następującym zadaniem:

Test diagnostyczny, mający na celu wykrycie skaz w sztabkach metalu, został zastosowany do zbadania pojedynczych sztab wylosowanych z dużej partii tego wyrobu. Wiadomo, że przeciętnie 5% całej produkcji stanowią sztabki ze skazami. Ustalono, że jeśli sztabka ma skazę, to w 90% test wskazuje istnienie skazy (test jest pozytywny) i w 90% test nie wskazuje skazy, jeśli sztabka jest wykonana prawidłowo.
a) Jakie jest prawdopodobieństwo, że sztabka ma rzeczywiscie skazę, jeśli
wynik testu był pozytywny?
b)Jakie będzie powyższe prawdopodobieństwo, jeśli sztabka zostanie poddana
testowi dwukrotnie i w obu przypadkach wyniki testu będą pozytywne?

W przypadku pkt a) wydawało mi się naturalną odpowiedzią: 90%, ale domyślam się, że to tak nie działa. Niestety brakuje mi pomysłu innego na to.

[Qń]

Wskazówka: wzór Bayesa.

Q.

[pawellogrd]

Dziękuję i proszę o sprawdzenie poprawności rozwiązania zadania:

\(\displaystyle{ A}\) - sztabka ma skazę
\(\displaystyle{ B}\) - sztabka nie ma skazy
\(\displaystyle{ TP}\) - wynik testu jest pozytywny
\(\displaystyle{ TN}\) - wynik testu jest negatywny

\(\displaystyle{ P(A)= 5 \%}\)
\(\displaystyle{ P(B)= 95 \%}\)
\(\displaystyle{ P(TP|A)= 90 \%}\)
\(\displaystyle{ P(TN|B)= 90 \%}\)
\(\displaystyle{ P(TP|B)= 1-P(TN|B) =10 \%}\)

a) \(\displaystyle{ P(A|TP) = \frac{P(TP|A) \cdot P(A)}{P(TP)} = \frac{P(TP|A) \cdot P(A)}{P(A) \cdot P(TP|A) + P(B) \cdot P(TP|B)} = \frac{90 \% \cdot 5 \%}{5 \% \cdot 90 \% + 95 \% \cdot 10 \%} = \frac{0,045}{0,14} \approx 0,32 = 32 \%}\)

b) Tutaj mam problem - w jaki sposób obliczyć jak będzie w przypadku testu dwukrotnego?

[Qń]

W podpunkcie a) się zgadza.

W podpunkcie b) zauważ, że tym razem \(\displaystyle{ P(TP|A)= 90 \%^2}\) i \(\displaystyle{ P(TP|B)=10\%^2}\).

Q.

[pawellogrd]

Czyli:

b)

\(\displaystyle{ P(TP|A) = 90 \% ^2 = 81 \%}\)
\(\displaystyle{ P(TP|B) = 10 \% ^2 = 1 \%}\)

\(\displaystyle{ P(A|TP) = \frac{P(TP|A) \cdot P(A)}{P(TP)} = \frac{P(TP|A) \cdot P(A)}{P(A) \cdot P(TP|A) + P(B) \cdot P(TP|B)} = \frac{81 \% \cdot 5 \%}{5 \% \cdot 81 \% + 95 \% \cdot 1 \%} = \frac{0,0405}{0,05} \approx 0,81 = 81 \%}\)

Zgadza się? I jeszcze jedno pytanie czysto formalne - czy oznaczenia w pkt b) mogę stosować takie jak w pkt a) czy powinienem je zmienić na jakieś inne?

[Qń]

Wyniku nie sprawdzałem, ale metoda się zgadza.

Co do oznaczeń - należy zrobić tak, żeby było czytelnie. Jeśli rozwiązujesz oba podpunkty jednocześnie, to wypada zmienić oznaczenia w drugim podpunkcie na np. \(\displaystyle{ TP^2}\).

Q.

[pawellogrd]

Ok dziękuję