Prawdopodobieństwo wylosowania elementu populacji do próby

[pawellogrd]

Widziałem już podobne zadanie na forum, ale nie doczekało się rozwiązania (zostało zamieszczone jedno przez autora wątku, ale bez komentarza dlaczego w taki sposób oraz nie zostało przez nikogo potwierdzone, co do jego prawidłowości), dlatego też proszę o pomoc w rozwiązaniu następującego zadania:

Obliczyć prawdopodobieństwo, że ustalony element n-elementowej populacji
będzie wylosowany do próby o liczebności k, jeśli:
a) elementy losujemy bez zwracania,
b) elementy losujemy ze zwracaniem.

Z góry dziękuję za pomoc.

[tometomek91]

a)
\(\displaystyle{ \frac{ {k \choose 1} \cdot {n-1 \choose k-1}}{ {n \choose k} }}\)

[pawellogrd]

Dziękuję. Czy mógłbym jeszcze prosić o wytłumaczenie skąd się wziął licznik ułamka: \(\displaystyle{ {k \choose 1} \cdot {n-1 \choose k-1}}\) ?

Mianownik jak i sens całego ułamka jako prawdopodobieństwa rozumiem, nie wiem tylko co oznacza tutaj \(\displaystyle{ {k \choose 1}}\). Dlaczego wybierany jest jeden element spośród \(\displaystyle{ k}\) elementów, a nie spośród \(\displaystyle{ n}\) elementów? Zastanawia mnie też czy jeśli ma być to ustalony element, to czy naprawdę jest wybór spośród tylu elementów, czy nie jest to jednak z góry wybrany jeden element? Wtedy w liczniku byłoby: \(\displaystyle{ 1 \cdot {n-1 \choose k-1}}\)

A także czy dobrze rozumiem, że \(\displaystyle{ {n-1 \choose k-1}}\) oznacza wybranie \(\displaystyle{ k-1}\) elementów spośród pozostałych po poprzednim wyborze \(\displaystyle{ n-1}\) elementów populacji?

[norwimaj]

To \(\displaystyle{ \binom k1}\) chyba niepotrzebne. Zwłaszcza że dla \(\displaystyle{ n=k>1}\) chcemy mieć prawdopodobieństwo równe \(\displaystyle{ 1}\). Wynik to \(\displaystyle{ \frac{\binom{n-1}{k-1}}{\binom nk}}\).

[pawellogrd]

Dziękuję. Jeszcze pytanie - jak zrobić pkt b)?

Wpadł mi do głowy taki pomysł: \(\displaystyle{ P(B)=\frac{ {k+n-3 \choose k-1} }{ {k+n-1 \choose k} }}\) tylko nie jestem tego pewien (zastosowałem kombinację z powtórzeniami), a już tym bardziej nie wiem jak to wyliczyć. Próbowałem to policzyć z definicji symbolu Newtona ale też nie poszło.

[norwimaj]

Kombinacje z powtórzeniami nie mają tu zastosowania. Jeśli kolejne losowania są niezależne, to stosujemy wariacje z powtórzeniami.

[tometomek91]

To \(\displaystyle{ \binom k1}\) chyba niepotrzebne.

Tak, faktycznie jednak bez tego.

[pawellogrd]

Czyli w pkt b) będzie \(\displaystyle{ P(B) = \frac{(n-1)^{k-1}}{n^k}}\) ?

[norwimaj]

Nie. Przede wszystkim nie jest powiedziane, że ustalony element nie może być wylosowany dwa razy. Skorzystaj ze zdarzenia przeciwnego.

[pawellogrd]

A takie wyrażenie \(\displaystyle{ P(B)=\frac{n^k - (n-1)^{k-1}}{n^k}}\) ?

Zdarzeniem przeciwnym byłoby niewylosowanie ustalonego elementu, więc czy liczba takich zdarzeń wynosiłaby \(\displaystyle{ (n-1)^k}\)? Wtedy prawdopodobieństwo, które próbuję obliczyć byłoby równe \(\displaystyle{ P(B)=1-\frac{(n-1)^k}{n^k}}\)

Czy któreś z moich dwóch powyższych są prawidłowe?

[norwimaj]

A takie wyrażenie \(\displaystyle{ P(B)=\frac{n^k - (n-1)^{k-1}}{n^k}}\) ?

Dlaczego \(\displaystyle{ k-1}\) w wykładniku?

[pawellogrd]

Literówka. Moje obydwa rozwiązania powyższe są de facto tym samym tylko z trochę innego myślenia je wywnioskowałem. W każdym bądź razie chciałem to napisać:

\(\displaystyle{ P(B)=\frac{n^k - (n-1)^{k}}{n^k}}\)

[norwimaj]

Ok, w takim razie nie mam zastrzeżeń.

[pawellogrd]

Ok dziękuję bardzo za pomoc!

[Ujemny]

Pozwole sobie odkopać temat z racji tego, że walcze z tym samym zadaniem. Jestem totalna noga, od zawsze, z prawdopodobieństwa, dlatego takie zadanie jest dla mnie ciężkie. Pytanie, skąd się wzięło:
\(\displaystyle{ \frac{\binom{n-1}{k-1}}{\binom nk}}\) ? Z jakich twierdzeń, praw musze skorzystać aby dojśćdo tego?

Dzięki