Prawdopodobieństwo sukcesu w pojedynczej próbie jest równe p. Wykonujemy doświadczenie do momentu uzyskania 2 sukcesów. Zmienna losowa X to liczba przeprowadzonych prób. Wyznaczyć rozkład zmiennej X, tzn. podać jej funkcję prawdopodobieństwa.
Skorzystałam ze wzoru \(\displaystyle{ P = {n\choose k} p^{k}(1-p)^{n-k}}\), gdzie:
n - ilość niezależnych prób
k - ilość sukcesów
Skoro "doświadczenie" kończy się po uzyskaniu 2 sukcesów, tzn., że jeden z sukcesów mam osiągnąć w ostatniej, n -tej próbie. Tzn., że mam uzyskać dokładnie jeden sukces w pierwszych n -1 próbach.
Prawdopodobieństwo uzyskania 1 sukcesu w n-1 próbach wyszło mi:
\(\displaystyle{ P = (n-1) \cdot p \cdot (1-p)^{n-2}}\)
Natomiast prawdopodobieństwo uzyskania 1 sukcesu w jednej próbie, to po prostu p.
Rozkład zmiennej X będzie iloczynem tych dwóch prawdopodobieństw?
Bardzo proszę o sprawdzenie mojego toku myślenia.
Wyznaczyć rozkład zmiennej X
-
- Użytkownik
- Posty: 9
- Rejestracja: 24 maja 2012, o 12:59
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Wrocław/Kołobrzeg
Wyznaczyć rozkład zmiennej X
Ostatnio zmieniony 6 paź 2012, o 16:03 przez Lbubsazob, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Symbol mnożenia to \cdot.
Powód: Symbol mnożenia to \cdot.
-
- Użytkownik
- Posty: 2959
- Rejestracja: 8 sie 2009, o 23:05
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 281 razy
- Pomógł: 498 razy
Wyznaczyć rozkład zmiennej X
Tak.Rozkład zmiennej X będzie iloczynem tych dwóch prawdopodobieństw?
Dobrze rozumujesz. Ogólnie, gdy kończymy po uzyskaniu \(\displaystyle{ k}\) sukcesów to jest to rozkład Pascala z parametrem \(\displaystyle{ k}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 9
- Rejestracja: 24 maja 2012, o 12:59
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Wrocław/Kołobrzeg
Wyznaczyć rozkład zmiennej X
A jak policzyć wartość oczekiwaną?
Wiem, że
\(\displaystyle{ EX = \sum_{k=0}^{n} k \cdot P(X)}\).
Czy w miejsce prawdopodobieństwa wstawiam wyliczone powyżej, a za k przyjmuję 2(dwa sukcesy)?
Wiem, że
\(\displaystyle{ EX = \sum_{k=0}^{n} k \cdot P(X)}\).
Czy w miejsce prawdopodobieństwa wstawiam wyliczone powyżej, a za k przyjmuję 2(dwa sukcesy)?
-
- Użytkownik
- Posty: 2959
- Rejestracja: 8 sie 2009, o 23:05
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 281 razy
- Pomógł: 498 razy
Wyznaczyć rozkład zmiennej X
\(\displaystyle{ k}\) to jest indeks przebiegający liczby od zera do \(\displaystyle{ n}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 9
- Rejestracja: 24 maja 2012, o 12:59
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Wrocław/Kołobrzeg
Wyznaczyć rozkład zmiennej X
No tak, racja. To w takim razie będzie to iloczyn liczby prób i prawdopodobieństwa?
-
- Użytkownik
- Posty: 2959
- Rejestracja: 8 sie 2009, o 23:05
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 281 razy
- Pomógł: 498 razy
Wyznaczyć rozkład zmiennej X
Z definicji, to będzie tak
\(\displaystyle{ EX = \sum_{k=0}^{\infty} k \cdot P(X=k)}\)
przy czym wiemy już, że
\(\displaystyle{ P(X=k)= (k-1) \cdot p \cdot (1-p)^{k-2} \cdot p}\)
Pozostaje podstawić i policzyć tę sumę.
\(\displaystyle{ EX = \sum_{k=0}^{\infty} k \cdot P(X=k)}\)
przy czym wiemy już, że
\(\displaystyle{ P(X=k)= (k-1) \cdot p \cdot (1-p)^{k-2} \cdot p}\)
Pozostaje podstawić i policzyć tę sumę.