Niezrozumiałe całkowanie

[Mistrz]

Czy ktoś mógłby mi wytłumaczyć takie przejście?
\(\displaystyle{ \int_E f \hbox{d} \mu = \int_0^{\infty} \mu (\{f >t\} )\hbox{d}t}\)
Czy to ma sens, czy to jest prawda i skąd to wynika?

Założenia były jakieś takie: \(\displaystyle{ E}\) - przestrzeń metryczna, \(\displaystyle{ \mu}\) - miara probabilistyczna na \(\displaystyle{ E}\), \(\displaystyle{ f : E \to \mathbb{R}}\) nieujemna.

[Kartezjusz]

Coś mi nie gra. Weź \(\displaystyle{ f=x^{2}}\) i miarę Lebesque'a na [0,1], E=[0,1]

[Zordon]

To jest prawda. Można śmiało dowodzić najpierw dla funkcji prostych (dodatnich) a potem przejść do granicy dostając dowolną funkcję dodatnią (tutaj dobrze jest wziąć ciąg funkcji prostych, który jest punktowo rosnący do \(\displaystyle{ f}\)).

A jeśli już jesteśmy w takim dziale a nie innym, to intuicyjnym odpowiednikiem tego faktu jest równość:
\(\displaystyle{ EX=\sum_{k=0}^{\infty} P(X>k)}\), dla zmiennej losowej o wartościach naturalnych

Tu w miarę widać dlaczego to działa:
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{\infty} P(X>k)=(P(X=1)+P(X=2)+...)+(P(X=2)+P(X=3)+...)+(P(X=3)+P(X=4)+...)=P(X=1)+2P(X=2)+3P(X=3)+...=EX}\)

[Wasilewski]

Najprościej chyba jest dowodzić to w ten sposób:
Rozważmy podzbiór \(\displaystyle{ \{ (t,x): 0 \leqslant t \leqslant f(x)\} \subset \mathbb{R}_{+} \times E}\). Jeśli scałkujesz najpierw względem \(\displaystyle{ t}\), a potem względem \(\displaystyle{ x}\), to otrzymasz lewą stronę równości, natomiast odwrotna kolejność całkowania da prawą.

[Mistrz]

Dzięki, już rozumiem