o Adamie i Ewie - czyli zmienne losowe niezależne

[malezja]

Adam i Ewa grają w następującą grę: Adam losuje z odcinka \(\displaystyle{ [0,1]}\) dwie liczby niezależne od siebie, a Ewa jedną liczbę, również niezależnie od liczb wylosowanych przez Adama. Losowanie odbywa się zgodnie z rozkładem jednostajnym. Potem Adam mnoży swoje liczby przez siebie, a Ewa podnosi swoją liczbę do kwadratu. Wygrywa ta osoba, której wynik jest większy. Kto ma większe szanse na zwycięstwo?

Nie umiem zrobić tego zadania. Umiem policzyć wartości oczekiwane wyników Adama i Ewy, tzn. \(\displaystyle{ E(XY)}\) oraz \(\displaystyle{ E(Z^{2})}\), ale nie wiem, czy o to chodziło. Bardziej prawdopodobne wydaje mi się, że chodzi tu o wyliczenie prawdopodobieństwa np. \(\displaystyle{ P(XY-Z^{2}<0)}\), gdzie \(\displaystyle{ X,Y,Z}\) są niezależnymi zmiennymi losowymi, ale z kolei tego nie umiem policzyć.

[Kartezjusz]

Narysuj to sobie . Naszą \(\displaystyle{ \Omega}\) jest cały sześcian \(\displaystyle{ [0,1]^{3}}\),ale zdarzeniu "Adam wygrywa" sprzyjają tylko zdarzenia ze zbioru
\(\displaystyle{ \left\{ (x,y,z) \in [0,1]^{3}; y> \frac{z^{2}}{x} \right\}}\), gdzie \(\displaystyle{ x,y}\) liczby wylosowane przez Adama; z liczba wylosowana przez Ewę. To jednak oznacza liczenie całki podwójnej.

[malezja]

O, faktycznie, jasne! Wyszło mi, że prawdopodobieństwo wygrania Adama wynosi \(\displaystyle{ \frac{4}{9}}\) (liczyłam całkę \(\displaystyle{ P(z^{2}<xy)= \int \int_{[0,1]\times [0,1]}\sqrt{xy} dxdy)}\), więc większą szansę na wygraną ma Ewa. Dzięki!!