Wartość oczekiwana liczby par

[malezja]

Mam problem z zadaniem: sześciu chłopców i sześć dziewcząt ustawiamy losowo w pary. Jaka jest wartość oczekiwana liczby par różnej płci?

Zrobiłam rozkład zmiennej losowej X oznaczającej liczbę par różnej płci, ale nie sumuje mi się do jedynki i nie wiem, gdzie robię błąd .

Zmienna X może przyjmować wartości 0,2,4,6.

Przestrzenią probabilistyczną jest tu rodzina 6ciu par wybranych z 12 osób. Jej moc to \(\displaystyle{ \frac{ {12 \choose 2} {10 \choose 2} {8 \choose 2} {6 \choose 2} {4 \choose 2} }{6!}= \frac{12!}{ 2^{6}6! }}\). Niech \(\displaystyle{ A_{i}=}\) jest dokładnie i par różnej płci.

Zatem:

\(\displaystyle{ |A_{0}|=\frac{ {6 \choose 2}^{2} {4 \choose 2}^{2}}{6!}=\frac{6!}{2^{6}}}\), zatem \(\displaystyle{ P(X=0)=\frac{\frac{6!}{2^{6}}}{ \frac{12!}{ 2^{6}6! }}=\frac{6!\cdot 6!}{12!}}\)

\(\displaystyle{ |A_{2}|=\frac{\frac{6\cdot 6}{2}\cdot \frac{5\cdot 5}{2} {4 \choose 2}^{2} }{6!}=\frac{6!}{2^{6}}}\), zatem \(\displaystyle{ P(X=2)=\frac{6!\cdot 6!}{12!}}\)

\(\displaystyle{ |A_{4}|=\frac{\frac{6\cdot 6}{2}\cdot \frac{5\cdot 5}{2}\cdot \frac{4\cdot 4}{2}\cdot \frac{3\cdot 3}{2}}{6!}=\frac{6!}{2^{6}}}\), zatem \(\displaystyle{ P(X=4)=\frac{6!\cdot 6!}{12!}}\)

\(\displaystyle{ |A_{6}|= \frac{\frac{6\cdot 6}{2}\cdot \frac{5\cdot 5}{2}\cdot \frac{4\cdot 4}{2}\cdot \frac{3\cdot 3}{2}\cdot \frac{2\cdot 2}{2}}{6!}=\frac{2\cdot 6!}{2^{6}}}\), zatem \(\displaystyle{ P(X=6)=\frac{2\cdot 6!\cdot 6!}{12!}}\)

Ale ten rozkład nie sumuje mi się do jedynki. Gdzie robię błąd?

[Kartezjusz]

Jak dobrze cię rozumiem ilość sposobów ułożenia par,a tak ,aby było dokładnie \(\displaystyle{ i}\) ; \(\displaystyle{ i=2,4,6}\) różnej płci robisz tak,że każdemu sposobowi dla \(\displaystyle{ i=0}\) proponujemy tak,że wybieramy losowego chłopca i losową dziewczynkę i kojarzymy w parę,ale w ten sposób jednoznacznie wyznaczamy drugą parę-z tych dzieci,które zostały bez partnera w parze po tej operacji. Nie potrzeba doliczania sposobów.

[malezja]

Jeśli cię dobrze zrozumiałam, to twierdzisz, ze powinno być \(\displaystyle{ A_{2}=3\cdot 3\cdot 2\cdot \frac{6!}{2^{6}}}\) ?

I podobnie \(\displaystyle{ A_{4}=3\cdot 3\cdot 2\cdot 2^{3}\cdot \frac{6!}{2^{6}}}\) oraz \(\displaystyle{ A_{6}=3\cdot 3\cdot 2\cdot 2^{4}\cdot\frac{6!}{2^{6}}}\) ?

Lepiej, ale to i tak za mało, rozkład nie sumuje się do jedynki.

-- 1 paź 2012, o 14:33 --

Zrobiłam to przed chwilą, wydaje mi się, że dobrze, ale proszę o sprawdzenie.
Numerujemy wszystkie osoby po kolei. \(\displaystyle{ X_{i}}\) jest zmienną przyjmującą wartość 1, gdy i-ta osoba jest w parze z osobą innej płci oraz wartość 0, gdy i-ta osoba jest w parze z osobą tej samej płci.

Wtedy \(\displaystyle{ X=\frac{ \sum_{i=1}^{12}X_{i}}{2}}\) jest zmienną opisującą liczbę par różnej płci.

Ponieważ \(\displaystyle{ P(X_{i}=1)=\frac{{6\choose 1}}{{11 \choose 1}}}\), więc
\(\displaystyle{ EX=\frac{1}{2}\cdot 12\cdot \frac{6}{11}=3\frac{3}{11}}\).

Ale nadal nie wiem, gdzie mam błąd w pierwszym rozwiązaniu.

[Kartezjusz]

Nie do końca . Chodzi tylko o pozbycie się \(\displaystyle{ \frac{5 \cdot 5}{2}}\) i \(\displaystyle{ \frac{3 \cdot 3}{2} z twoich wzorów.}\)

[malezja]

No to teraz już całkiem nie rozumiem... Nawet jak pozbędę się tych wyrażeń \(\displaystyle{ \frac{5\cdot 5}{2}}\) i \(\displaystyle{ \frac{3\cdot 3}{2}}\) z moich obliczeń z pierwszego rozwiązania, to i tak rozkład nie sumuje mi się do jedynki...

A drugie rozwiązanie?