Dokładanie kul by wyrównać prawdopodobieństwo

[Peres]

Mam problem z zadaniem :

W urnie znajduje się 5 kul czerwonych i 6 zielonych. Ile należy dołożyć kul czerwonych,aby prawdopodobieństwo wylosowania pary kul różnokolorowych było równe prawdopodobieństwu wylosowania pary kul w tym samym kolorze ?

Zacząłem od wyznaczenia mocy omegi i zrobiłem to w taki sposób :

\(\displaystyle{ {11 \choose 2} = 55}\)

Następnie obliczyłem prawdopodobieństwo wybrania kul w tym samym kolorze :

\(\displaystyle{ {5 \choose 2} \cdot {6 \choose 0} + {5 \choose 0} \cdot {6 \choose 2} = 25}\)

Dobrze to ? Nie wiem jak teraz to ruszyć. Pozdrawiam

[kamil13151]

W sumie będzie \(\displaystyle{ 5+x}\) kul czerwonych, gdzie \(\displaystyle{ x}\) to liczba tych dołożonych oraz \(\displaystyle{ 6}\) zielonych.

1) Liczba kombinacji wybrania pary kul różnokolorowych to: \(\displaystyle{ {5+x \choose 1} \cdot {6 \choose 1}}\)

2) Liczba kombinacji wybrania pary kul w tym samym kolorze: \(\displaystyle{ {5+x \choose 2} + {6 \choose 2}}\)

3) Liczba kombinacji wybrania dwóch dowolnych kul to: \(\displaystyle{ {5+x+6 \choose 2}}\)

Teraz ułóż równanie.

[Peres]

Coś mam problem.

Przy obliczaniu \(\displaystyle{ {5+x \choose 2} \cdot {6 \choose 1}}\)

robię chyba coś źle :

\(\displaystyle{ \frac{5+x!}{2!(5+x-2)!} = \frac{x(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)}{2 \cdot x(x+1)(x+2)(x+3)} \cdot 6 = 3x ^{2} +27x +60}\)

pierwiastki wychodzą ujemne więc chyba jest coś źle. Gdzie mam błąd ?

[kamil13151]

Wziąłeś nieprawidłową kombinację.

Zauważamy, że mianownika równego \(\displaystyle{ {5+x+6 \choose 2}}\) byśmy szybko się pozbyli, bo w obu stronach równania by był taki sam, zatem pozostaje do rozwiązania: \(\displaystyle{ {5+x \choose 1} \cdot {6 \choose 1}={5+x \choose 2} + {6 \choose 2}}\).

\(\displaystyle{ {5+x \choose 2}= \frac{(x+4)(x+5)}{2}}\)

Do rozwiązania:
\(\displaystyle{ 5(5+x)= \frac{(x+4)(x+5)}{2} +15}\)