Zmienna losowa, dystrybuanta, wariancja.

[whitely]

Kompletnie nie wiem jak mam się zabrać za te 3 zadania.. Może jest w stanie ktoś mi naświetlić jak je zrobić? Proszę.

1. Zmienne losowe \(\displaystyle{ X_1,X_2,..,X_{60}}\) są niezależne i mają jednakowe rozkłady o wartości oczekiwanej równej \(\displaystyle{ 1}\) i wariancji równej \(\displaystyle{ 9}\). Oblicz \(\displaystyle{ P( \sum_{i=1}^{60} Xi>54 )}\)

2. Wyznacz wariancje zmiennej losowej, której rozkład podano w tabelce:

\(\displaystyle{ \begin{array}{c|ccccccc}
x_i & -2 &-1& 0& 1& 2& 3& 4\\

p_i & 0,2 & 0,1 & 0,1 & 0,2 & 0,1 & 0,1 & 0,2
\end{array}}\)

3. Zmienna losowa \(\displaystyle{ X}\) ma gęstość \(\displaystyle{ f(x) = 3 ^{2}}\) dla\(\displaystyle{ 0<x<1}\) i \(\displaystyle{ 0}\) dla pozostałych.
Wyznaczyć dystrybuantę tej zmiennej losowej i \(\displaystyle{ P(x<0,3)}\).

[tometomek91]

1.
\(\displaystyle{ P( \sum_{i=1}^{60} X_i < 54 )=P( \sum_{i=1}^{60} X_i -60 \cdot 1 < -6 )=P( \frac{\sum_{i=1}^{60} X_i -60}{\sqrt{60 \cdot 9}} \cdot 1 < \frac{-6}{6\sqrt{15}} )=P( \frac{\sum_{i=1}^{60} X_i - n \cdot EX}{\sqrt{n \cdot VarX}} \cdot 1 < \frac{-1}{\sqrt{15}} )}\)
teraz skorzystaj z centralnego twierdzenia granicznego, poamiętając o tym, że \(\displaystyle{ \Phi(-t)=1-\Phi(t)}\) i \(\displaystyle{ P(A)=1-P(A')}\).

[pyzol]

2. \(\displaystyle{ Var(X)=\mathcal{E}\left( X^2\right) -\left( \mathcal{E}X\right)^2\\
\mathcal{E}(X)=\sum_{i} x_i p_i , \mathcal{E}(X^2)=\sum_{i} x^2_i p_i}\)
3. Prawdopodobnie przeoczyłaś coś we wzorze na gęstość. A już wiem:
\(\displaystyle{ f(x)=3x^2\\
P(X \le t)=\int_{-\infty}^t f(x)\mbox{d}x}\)

[whitely]

2. \(\displaystyle{ Var(X)=\mathcal{E}\left( X^2\right) -\left( \mathcal{E}X\right)^2\\
\mathcal{E}(X)=\sum_{i} x_i p_i , \mathcal{E}(X^2)=\sum_{i} x^2_i p_i}\)
3. Prawdopodobnie przeoczyłaś coś we wzorze na gęstość. A już wiem:
\(\displaystyle{ f(x)=3x^2\\
P(X \le t)=\int_{-\infty}^t f(x)\mbox{d}x}\)

Dlaczego w całce jest zastosowany przedział do nieskończoności, skoro w zadaniu jest do 1?

Po rozwiązaniu całki w przedziale od 0 do 1 tj. \(\displaystyle{ \int_{0}^{1}}\) \(\displaystyle{ 3x^{2} dx=x ^{3} =1}\)

Czy to jest dobrze ?

[pyzol]

W zadaniu masz w skrócie opisaną funkcję:
\(\displaystyle{ f(x)= \begin{cases} 0,x\in(\infty,0) \\3x^2,x\in[0;1]\\
0,x\in(1,\infty) \end{cases}}\)
Dystrybuantę liczymy do \(\displaystyle{ t}\). Gdy \(\displaystyle{ t<0}\), wtedy:
\(\displaystyle{ \int_{-\infty}^t f(x)\mbox{d}x=\int_{-\infty}^t 0\mbox{d}x=0}\)
Gdy \(\displaystyle{ t\in [0;1]}\) mamy:
\(\displaystyle{ \int_{-\infty}^t f(x)\mbox{d}x=\int_{-\infty}^{0} 0\mbox{d}x+\int_{0}^{t} 3x^2\mbox{d}x=\left. x^3 \right|_0^t=t^3}\)
Gdy \(\displaystyle{ t>1}\):
\(\displaystyle{ \int_{-\infty}^t f(x)\mbox{d}x=\int_{-\infty}^{0} 0\mbox{d}x+\int_{0}^{t} 3x^2\mbox{d}x+\int_{1}^t 0\mbox{d}x=1}\)
Ładniej nie mogę rozpisać.