Rozkład sumy zmiennych losowych

[Matematol]

Witam. Mam problem z następującym zadaniem i proszę o pomoc. Dana jest następująca funkcja gęstości zmiennej losowej \(\displaystyle{ X}\)


\(\displaystyle{ f(x)= \begin{cases} \frac{1}{2} x &\mbox{ dla } x \in \left\langle 0,2 \right\rangle \\ 0 &\mbox{ dla pozostałych }x\end{cases}}\)

Wyznacz rozkład zmiennej \(\displaystyle{ X+X}\) oraz \(\displaystyle{ X+X+X}\).

[rodzyn7773]

To chyba będzie tak.
\(\displaystyle{ U=X+X=2X \\ P_U(t)= P(U \le t)=P(2X \le t)=P(X \le \frac{t}{2})= \int_{- \infty }^{ \frac{t}{2} } f(x) dx}\)
I teraz wystarczy policzyć tą całkę w odpowiednich przypadkach. Podobnie się robi dla zmiennej losowej \(\displaystyle{ X+X+X}\)

[Matematol]

Ale dlaczego mam liczyć dystrybuante. W treści zadania trzeba było policzyć rozkład.

[Arst]

Dystrybuanta wyznacza jednoznacznie rozkład.

[Matematol]

Czy mógłbym prosić o policzenie zadania do końca (chociaż dla \(\displaystyle{ X+X}\)) tak abym dostał w wyniku wzór na funkcję gęstości dla rozkładu zmiennej \(\displaystyle{ X+X}\).

[Arst]

Nie, sam to zrób. Wpierw wyznacz dystrybuantę, następnie zróżniczkuj gdzie się da, a otrzymasz gęstość.

[Matematol]

Korzystając z tego co napisałeś wcześniej
\(\displaystyle{ F_U(t)=\int_{- \infty }^{ \frac{t}{2} } f(x) dx = \int_{0}^{ \frac{t}{2} } \frac{1}{2}x dx = \frac{1}{2}\int_{0}^{ \frac{t}{2} } x dx = \frac{1}{2} [\frac{\frac{t}{2^2}^2}{2} -0]=\frac{t^2}{16}}\)
Więc :
\(\displaystyle{ F'_U(t) = \frac{1}{8}t}\) dla \(\displaystyle{ t\in[0,2]}\) .
Czy dobrze ???

[Arst]

Źle. Musisz rozważyć przypadki:
\(\displaystyle{ \frac{t}{2} <0}\)
\(\displaystyle{ 0\le \frac{t}{2}<2}\)
\(\displaystyle{ \frac{t}{2} \ge 2}\).

Twoja dystrybuanta będzie postaci: \(\displaystyle{ F_U(t)= \begin{cases} \cdots \quad t<0 \\ \cdots \quad 0 \le t<4 \\ \cdots \quad t \ge 4\end{cases}}\)

[Matematol]

Niestety ale nadal mam problem. Czy z tego co napisałeś wynika że mam obliczyć całki w granicach
1)\(\displaystyle{ -\infty}\) do 0
2)0 do 4
3)4 do \(\displaystyle{ \infty}\)
Przecież jeżeli policzę całki w ten sposób to dostanę liczbę a nie funkcję. Nadal proszę o pomoc.

[Arst]

Otrzymasz funkcję określoną na powyższych przedziałach zależną od \(\displaystyle{ t}\) czyli szukaną dystrybuantę.

1) co otrzymasz licząc całkę w tych granicach? Zwróć uwagę gdzie określona jest gęstość \(\displaystyle{ f}\)
2) jeżeli \(\displaystyle{ 0 \le \frac{t}{2}<2}\), to liczysz całkę \(\displaystyle{ \int_{0}^{\frac{t}{2}} f \mbox{d}x}\) (Dlaczego?)
3) patrz punkt 1)

[Matematol]

1) Otrzymam \(\displaystyle{ 0}\)
2) Licząc całkę \(\displaystyle{ \int_{0}^{ \frac{t}{2} }f(x)dx}\) otrzymam dystrybuantę \(\displaystyle{ F_{U}(t)=\frac{t^2}{16}}\) więc po zróżniczkowaniu będę miał funkcję gęstości prawdopodobieństwa \(\displaystyle{ \frac{t}{8}}\) określoną na przedziale \(\displaystyle{ 0 \le t < 4}\)
3) Otrzymam \(\displaystyle{ 0}\)

Czy teraz dobrze?

[Arst]

Prawie. Dla \(\displaystyle{ t \ge 4}\) masz całkę \(\displaystyle{ \int_{0}^{2} f \mbox{d}x=1}\). Stąd już widać, że gęstość \(\displaystyle{ f_U(x)= egin{cases} frac{1}{8}x, quad x in [0,4) \ 0, quad mathrm{w p.p} end{cases}}\)

[Matematol]

Dzieki za pomoc, ale chciałbym pociągnąć temat dalej. Jeżeli będziemy mieli n zmiennych \(\displaystyle{ X}\) o takim samym rozkładzie prawdopodobieństwa jak ten określony powyżej i policzymy \(\displaystyle{ U= X+X+...+X}\) (n razy) to otrzymamy dystrybuantę:
\(\displaystyle{ F_{U}(t)=egin{cases} 0, quad tin (- infty ,0)\frac{t^2}{4n^2}, quad tin[0,2n) \ 1, quad tin[2n, infty ) end{cases}}\)
oraz funkcję gęstości:
\(\displaystyle{ f_{U}(t)=egin{cases} 0, quad tin (- infty ,0)\frac{t}{2n^2}, quad tin[0,2n) \ 0, quad tin[2n, infty ) end{cases}}\).
Chciałbym się zapytać jak do powyższych obliczeń ma się Centralne Twierdzenie Graniczne które mówi, że zmienna \(\displaystyle{ U= X+X+...+X}\) przy \(\displaystyle{ n \rightarrow \infty}\) (n - ilość zmiennych) dąży do rozkładu normalnego, a po ustandaryzowaniu do N(0,1).

[Arst]

Moim zdaniem nijak się nie ma, bo w założeniach CTG mamy, że sumowane zmienne mają być niezależne, co tutaj ewidentnie nie jest spełnione.

[Matematol]

Założenia CTG są take, że:
1) sumowane zmienne mają mieć ten sam rozkład i to założenie jest spełnione
oraz
2) to, że są niezależne. No i tu pojawa się moje kolejne pytanie. Skąd wiemy że są niezależne.
Czy mam to sprawdzić z warunku:
\(\displaystyle{ P(X \le a)P(Y \le b)=P(X \le a \wedge Y \le b)}\) czy można to sobie wywnioskować bez tego. Generalnie to tak na chłopski rozum wydawało mi się, że są niezależne bo co dzieje się z jedną zmienną nie ma wpływu na drugą, tyle że mają ten sam rokład.