Rozkład sumy zmiennych losowych

[Arst]

Jeśli zmienne losowe są parami niezależne, to jeszcze nie oznacza, że wszystkie są niezależne.

Niech \(\displaystyle{ B_1,B_2,\ldots,B_n \in \mathcal{B}(\mathbb{R})}\). Zmienne \(\displaystyle{ X_1,\ldots,X_n}\) są niezależne, jeśli \(\displaystyle{ \PP(X_1 \in B_1,\ldots,X_n \in B_n)=\PP(X_1 \in B_1) \cdot \ldots \cdot \PP(X_n \in B_n)}\)
W Twoim przypadku \(\displaystyle{ X_1=X_2=\ldots=X_n=X}\) oraz \(\displaystyle{ \PP(X_1 \in B_1,\ldots,X_n \in B_n)=\PP\left(X\in \bigcap_{k=1}^{n} B_k\right)}\), a żeby te zmienne były niezależne, to prawa strona nierówności musiałaby być równa \(\displaystyle{ \prod_{k=1}^{n} \PP(X \in B_k)}\). Aby pokazać, że tak nie zawsze będzie weźmy \(\displaystyle{ B_k=\left[-\frac{1}{k},\frac{1}{k}\right]}\). Wtedy \(\displaystyle{ \prod_{k=1}^{n} \PP(X \in B_k)= \prod_{k=1}^{n}\frac{2}{k}=\frac{2}{1}\cdot\frac{2}{2}\cdot\frac{2}{3}\cdot \ldots \cdot \frac{2}{n-1} \cdot \frac{2}{n}=\frac{2^n}{n!}}\) natomiast \(\displaystyle{ \PP\left(X\in \bigcap_{k=1}^{n} B_k\right)=\PP\left(X \in \left[-\frac{1}{n},\frac{1}{n}\right]\right)=\frac{2}{n}}\), stąd dla \(\displaystyle{ n \ge 2}\) równość nie zachodzi.

[Matematol]

Ten dowód na brak niezależności który przytoczyłeś wydaje się poprawny, chociaż dziwne dla mnie jest to, że nie odwołujesz się do tego w jaki sposób jest zdefiniowana funkcja gęstości. Ale mniejsza z tym. Generalnie to umieściłem tego posta tutaj po to aby skumać na przykładzie to czy jeżeli się zsumuje kilka zmiennych losowych to będą one przypominać rozkład normalny. I tak. W Wikipedii w miejscu gdzie jest mowa o CTG
... _graniczne
jest taki przykład rozkładu zmiennej losowej
... 0318175640
Która po zsumowaniu daje
[url=http://pl.wikipedia.org/w/index.php%3Ftit]index.php?tit[/url] ... 0318175654
W tym przykładzie zsumowano te zmienne aby pokazać prawdziwość CTG. Więc w związku z tym stwierdzono ich niezależność. Wydaje mi się że twój dowód niezależności zmiennych mógłby być użyty także do tego przykładu z Wikipedii (z racji tego, że nie odwołujesz się do gęstości). Dlatego coś mi tu nie gra. Poza tym ten przykład z Wikipedii jest podobny przynajmniej na tym pierwszym przedziale (-2,2;-0,2) do tego mojego (też jest funkcją liniową) a rozkład sumy zmiennych wygląda zupełnie inaczej.