Rozkład zmiennej
-
porsche911
- Użytkownik
- Posty: 11
- Rejestracja: 21 wrz 2012, o 21:37
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3 razy
Rozkład zmiennej
Niezależne zmienne losowe \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\) mają rozkład Poissona z parametrami \(\displaystyle{ \lambda _{1}}\) i \(\displaystyle{ \lambda _{2}}\). Znaleźć rozkład zmiennej losowej \(\displaystyle{ Z=X+Y}\).
-
tometomek91
- Użytkownik
- Posty: 2959
- Rejestracja: 8 sie 2009, o 23:05
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 281 razy
- Pomógł: 498 razy
Rozkład zmiennej
\(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\) mają rozkład Poissona, czyli
\(\displaystyle{ P(X=k)=\frac{\lambda_1^k}{k!}e^{-\lambda_1}}\) i \(\displaystyle{ P(Y=k)=\frac{\lambda_2^k}{k!}e^{-\lambda_2}}\)
Z niezależności \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\) mamy
\(\displaystyle{ P(X+Y=m)=\sum_{i=0}^m P(X=i,Y=m-i)=\sum_{i=0}^m \frac{\lambda_1^i}{i!}e^{-\lambda_1} \cdot \frac{\lambda_2^{m-i}}{(m-i)!}e^{-\lambda_2}=\frac{e^{-(\lambda_1+\lambda_2)}}{m!} \sum_{i=0}^m {m \choose i} \lambda_1^i \cdot \lambda_2^{m-i}=\frac{(\lambda_1+\lambda_2)^m}{m!}e^{-(\lambda_1+\lambda_2)}}\)
\(\displaystyle{ P(X=k)=\frac{\lambda_1^k}{k!}e^{-\lambda_1}}\) i \(\displaystyle{ P(Y=k)=\frac{\lambda_2^k}{k!}e^{-\lambda_2}}\)
Z niezależności \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\) mamy
\(\displaystyle{ P(X+Y=m)=\sum_{i=0}^m P(X=i,Y=m-i)=\sum_{i=0}^m \frac{\lambda_1^i}{i!}e^{-\lambda_1} \cdot \frac{\lambda_2^{m-i}}{(m-i)!}e^{-\lambda_2}=\frac{e^{-(\lambda_1+\lambda_2)}}{m!} \sum_{i=0}^m {m \choose i} \lambda_1^i \cdot \lambda_2^{m-i}=\frac{(\lambda_1+\lambda_2)^m}{m!}e^{-(\lambda_1+\lambda_2)}}\)