\(\displaystyle{ \Omega= \left[ 0,3\right]}\) i niech P bedzie unormowaną miarą Lebesgue'a na \(\displaystyle{ \Omega}\). Wyznaczyć rozkład, wartość oczekiwaną i wariancję następującej zmiennej losowej
\(\displaystyle{ X(\omega) = \left\{\begin{array}{l} 2\omega + 1 , \ \ 0 \le \omega \le 1 \\- \omega ^{2} + 2 , \ \ 1<\omega<2 \\3 ,\ \ 2 \le \omega \le 3 \end{array}}\)
wyznaczyć rozkład, wartość oczekiwaną
-
- Użytkownik
- Posty: 11
- Rejestracja: 21 wrz 2012, o 21:37
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 2959
- Rejestracja: 8 sie 2009, o 23:05
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 281 razy
- Pomógł: 498 razy
wyznaczyć rozkład, wartość oczekiwaną
Można odczytać systrybuantę, mi wyszła:
\(\displaystyle{ F_X(t)= \begin{cases} 0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{dla}\ t \le -2 \\ \frac{2-\sqrt{2-t}}{3}\ \ \ \text{dla}\ t \in (-2,1] \\ \frac{t+1}{6}\ \ \ \ \ \ \ \ \text{dla}\ t \in (1,3) \\ 1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{dla}\ t \ge 3 \end{cases}}\)
Stąd gęstość:
\(\displaystyle{ g(x)= \begin{cases} 0\ \ \ \ \ \ \text{dla}\ x \le -2\ i \ x \ge 3 \\ \frac{1}{6\sqrt{2-x}}\ \ \ \text{dla}\ -2 <x \le 1 \\ \frac{1}{6}\ \ \ \ \ \ \ \text{dla}\ 1<x<3 \end{cases}}\)
i wartość oczekiwana
\(\displaystyle{ EX=\int_{\mathbb{R}} xg(x) dx=\frac{37}{18} \approx 2,05}\)
\(\displaystyle{ F_X(t)= \begin{cases} 0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{dla}\ t \le -2 \\ \frac{2-\sqrt{2-t}}{3}\ \ \ \text{dla}\ t \in (-2,1] \\ \frac{t+1}{6}\ \ \ \ \ \ \ \ \text{dla}\ t \in (1,3) \\ 1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{dla}\ t \ge 3 \end{cases}}\)
Stąd gęstość:
\(\displaystyle{ g(x)= \begin{cases} 0\ \ \ \ \ \ \text{dla}\ x \le -2\ i \ x \ge 3 \\ \frac{1}{6\sqrt{2-x}}\ \ \ \text{dla}\ -2 <x \le 1 \\ \frac{1}{6}\ \ \ \ \ \ \ \text{dla}\ 1<x<3 \end{cases}}\)
i wartość oczekiwana
\(\displaystyle{ EX=\int_{\mathbb{R}} xg(x) dx=\frac{37}{18} \approx 2,05}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 2959
- Rejestracja: 8 sie 2009, o 23:05
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 281 razy
- Pomógł: 498 razy
wyznaczyć rozkład, wartość oczekiwaną
Mam narysowany wykres, ale potrzebuje obliczeń. Nie przejdzie u mnie odczytanie z wykresu. Wsyztsko musi być napisane , co z czego się wzięło
-
- Użytkownik
- Posty: 2959
- Rejestracja: 8 sie 2009, o 23:05
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 281 razy
- Pomógł: 498 razy
wyznaczyć rozkład, wartość oczekiwaną
Ok:
\(\displaystyle{ F(t)=P(X<t)}\), czyli weźmy prostą \(\displaystyle{ y=t}\) i zobaczmy dla jakich \(\displaystyle{ \omega}\) jest \(\displaystyle{ X(\omega)<t}\) (to co się w liceum robiło z parametrem \(\displaystyle{ m}\) i funkcją kwadratową) no i teraz trzeba policzyć prawdopodobieństwo tych omeg, czyli znaleźć miarę tego zbioru (miarę Lebesgue'a).
\(\displaystyle{ F(t)=P(X<t)}\), czyli weźmy prostą \(\displaystyle{ y=t}\) i zobaczmy dla jakich \(\displaystyle{ \omega}\) jest \(\displaystyle{ X(\omega)<t}\) (to co się w liceum robiło z parametrem \(\displaystyle{ m}\) i funkcją kwadratową) no i teraz trzeba policzyć prawdopodobieństwo tych omeg, czyli znaleźć miarę tego zbioru (miarę Lebesgue'a).