przekłamywanie bitów
-
porsche911
- Użytkownik
- Posty: 11
- Rejestracja: 21 wrz 2012, o 21:37
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3 razy
przekłamywanie bitów
Bity przekazywane szeregowo są przekłamywane niezależnie od siebie każdy z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ 2,5 \cdot 10 ^{-9}}\) . Przesyłamy \(\displaystyle{ 10 ^{8}}\) bitów i na końcu dodajemy bit parzystości ( równy \(\displaystyle{ 1}\) gdy wiadomość zawiera nieparzystą liczbę jedynek lub \(\displaystyle{ 0}\) gdy wiadomość zawiera parzystą liczbę jedynek). Błędny ciąg odbieramy jako prawdziwy, gdy przekłamaniu ulega parzysta liczba bitów. Obliczyć prawdopodobieństwo odebrania błędnego ciągu jako prawdziwego.
Ostatnio zmieniony 22 wrz 2012, o 12:39 przez MichalPWr, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości. Pamiętaj o tagach[latex][/latex]
Powód: Poprawa wiadomości. Pamiętaj o tagach
-
Jacek_Karwatka
- Użytkownik
- Posty: 351
- Rejestracja: 2 maja 2012, o 16:16
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 94 razy
przekłamywanie bitów
Przy tak dużej próbie można przyjąć że liczba błędów jest określona rozkładem Poissona z parametrem \(\displaystyle{ \lambda=2.5 \cdot 10 ^{-9} \cdot 10 ^{8}=0.25}\)
\(\displaystyle{ P(n)=e ^{-0.25} \frac{0.25 ^{n} }{n!}}\)
Błędna wiadomość będzie przesłana jako prawdziwa kiedy nastąpi parzysta liczba błędów (ale nie 0).
Prawdopodobieństwo tego jest dane sumą szeregu:
\(\displaystyle{ S=e ^{-0.25}\left( \frac{0.25 ^{2} }{2!}+\frac{0.25 ^{4} }{4!}+\frac{0.25 ^{6} }{6!}+...\right)}\)
Z analizy wiadomo że:
\(\displaystyle{ S _{1}= \sum_{n=0}^{ \infty } \frac{0.25 ^{n} }{n!}=\frac{0.25 ^{0} }{0!}+ \frac{0.25 ^{1} }{1!}+\frac{0.25 ^{2} }{2!}+\frac{0.25 ^{3} }{3!}+\frac{0.25 ^{4} }{4!}... =e ^{0.25}}\)
ale też:
\(\displaystyle{ S _{2}= \sum_{n=0}^{ \infty } \frac{-0.25 ^{n} }{n!}=\frac{(-0.25) ^{0} }{0!}+ \frac{(-0.25) ^{1} }{1!}+\frac{(-0.25) ^{2} }{2!}+\frac{(-0.25) ^{3} }{3!}+\frac{(-0.25) ^{4} }{4!}... =e ^{-0.25}}\)
Kiedy zsumujemy szeregi \(\displaystyle{ S _{1}}\) i \(\displaystyle{ S _{2}}\) nieparzyste potęgi się kasują. Otrzymamy:
\(\displaystyle{ S _{1}+S _{2}=2\left(\frac{0.25 ^{0} }{0!}+\frac{0.25 ^{2} }{2!}+\frac{0.25 ^{4} }{4!}+\frac{0.25 ^{6} }{6!}+... \right)=e ^{0.25}+e ^{-0.25}}\)
\(\displaystyle{ S=e ^{-0.25} \frac{S _{1}+S _{2}-\frac{0.25 ^{0} }{0!}-\frac{-0.25 ^{0} }{0!}}{2}=e ^{-0.25} \frac{e ^{0.25} +e ^{-0.25} -1-1}{2}= \frac{1+e ^{-0.25}e ^{-0.25} -2e ^{-0.25} }{2}=\frac{\left( 1-e ^{-0.25} \right) ^{2} }{2} \approx 0.0245}\)
\(\displaystyle{ P(n)=e ^{-0.25} \frac{0.25 ^{n} }{n!}}\)
Błędna wiadomość będzie przesłana jako prawdziwa kiedy nastąpi parzysta liczba błędów (ale nie 0).
Prawdopodobieństwo tego jest dane sumą szeregu:
\(\displaystyle{ S=e ^{-0.25}\left( \frac{0.25 ^{2} }{2!}+\frac{0.25 ^{4} }{4!}+\frac{0.25 ^{6} }{6!}+...\right)}\)
Z analizy wiadomo że:
\(\displaystyle{ S _{1}= \sum_{n=0}^{ \infty } \frac{0.25 ^{n} }{n!}=\frac{0.25 ^{0} }{0!}+ \frac{0.25 ^{1} }{1!}+\frac{0.25 ^{2} }{2!}+\frac{0.25 ^{3} }{3!}+\frac{0.25 ^{4} }{4!}... =e ^{0.25}}\)
ale też:
\(\displaystyle{ S _{2}= \sum_{n=0}^{ \infty } \frac{-0.25 ^{n} }{n!}=\frac{(-0.25) ^{0} }{0!}+ \frac{(-0.25) ^{1} }{1!}+\frac{(-0.25) ^{2} }{2!}+\frac{(-0.25) ^{3} }{3!}+\frac{(-0.25) ^{4} }{4!}... =e ^{-0.25}}\)
Kiedy zsumujemy szeregi \(\displaystyle{ S _{1}}\) i \(\displaystyle{ S _{2}}\) nieparzyste potęgi się kasują. Otrzymamy:
\(\displaystyle{ S _{1}+S _{2}=2\left(\frac{0.25 ^{0} }{0!}+\frac{0.25 ^{2} }{2!}+\frac{0.25 ^{4} }{4!}+\frac{0.25 ^{6} }{6!}+... \right)=e ^{0.25}+e ^{-0.25}}\)
\(\displaystyle{ S=e ^{-0.25} \frac{S _{1}+S _{2}-\frac{0.25 ^{0} }{0!}-\frac{-0.25 ^{0} }{0!}}{2}=e ^{-0.25} \frac{e ^{0.25} +e ^{-0.25} -1-1}{2}= \frac{1+e ^{-0.25}e ^{-0.25} -2e ^{-0.25} }{2}=\frac{\left( 1-e ^{-0.25} \right) ^{2} }{2} \approx 0.0245}\)