Sprawdzenie rozkład wektora (X,Y)

[whoknew]

W pudełku jest 10 losów. Jeden z nich wygrywa 100 zł, dwa wygrywają 1 zł, a pozostałe są puste. Ciągniemy kolejno bez zwrotu 2 losy. Niech X oznacza wygraną przypadającą na pierwszy los a Y wygraną przypadającą na drugi los. Wyznacz rozkład wektora (X,Y).

Robiłam tak:
A - wygrana w pierwszym losie
A' - przegrana w pierwszym losie
B - wygrana w drugim losie
B' - przegrana w drugim losie

\(\displaystyle{ \Omega_{1}= {10 \choose 1}=10

\Omega_{2} = {9 \choose 1}

P(A)_{} = \frac{ {3 \choose 1} }{10} = \frac{3}{10}

P(A')_{} = \frac{ {7 \choose 1} }{10} = \frac{7}{10}

P(B)_{} = \frac{ {3 \choose 1} }{9} = \frac{1}{3}

P(B')_{} = \frac{ {6 \choose 1} }{9} = \frac{2}{3}

P(X,Y) = (0,0) = P(A \cap B)=P(A)P(B) = \frac{1}{10}

P(X,Y) = (0,1) = P(A \cap B')=P(A)P(B') = \frac{1}{5}

P(X,Y) = (1,0) = P(A' \cap B)=P(A')P(B) = \frac{21}{90}

P(X,Y) = (1,1) = P(A' \cap B')=P(A')P(B') = \frac{42}{90}}\)
Podejrzewam że jest to całkiem źle, nie czuję się pewnie w zadaniach tego typu. Może ktoś pomoże?

[norwimaj]

Po pierwsze, Wygrana tutaj nie przyjmuje wartości \(\displaystyle{ 0}\) i \(\displaystyle{ 1}\), tylko \(\displaystyle{ 0\;\mbox{zł}, 1\;\mbox{zł}, 100\;\mbox{zł}}\).

Po drugie, prawdopodobieństwo zdarzenia \(\displaystyle{ B}\) masz źle policzone. Prawdopodobieństwo \(\displaystyle{ B}\) jest takie samo jak \(\displaystyle{ A}\) (nawiasem mówiąc nie wiem, po co je liczysz).

[pyzol]

Licz po prostu:
\(\displaystyle{ P(X=0,Y=0),P(X=0,Y=1),P(X=0,Y=100)...}\)
ogólnie 9 prawdopodobieństw, chodź ze względu na pewne własności wystarczy mniej.

[whoknew]

Dziękuję za odpowiedzi, nie rozumiem czemu prawdopodobienstwo B ma byc takie samo jak A? Po wyciągnięciu 1 losu przecież omegą będzie lsoowanie jednego elementu już z 9, a nie 10 ?-- 15 wrz 2012, o 15:19 --Teraz mam tak:

\(\displaystyle{ P(X=0, Y=0) _{} = \frac{7}{10 } \cdot \frac{6}{9} = \frac{42}{90}

P(X=0, Y=1)_{} = \frac{7}{10} \cdot \frac{2}{9} = \frac{14}{90}

P(X=0, Y=100)_{} = \frac{7}{10} \cdot \frac{1}{9} = \frac{7}{90}

P(X=1, Y=1)_{} = \frac{2}{10} \cdot \frac{1}{9} = \frac{2}{90}

P(X=1, Y=100)_{} = \frac{2}{10} \cdot \frac{1}{9} = \frac{2}{90}

P(X=1, Y=0)_{} = \frac{2}{10} \cdot \frac{7}{9} = \frac{14}{90}

P(X=100, Y=0)_{} = \frac{1}{10} \cdot \frac{7}{9} = \frac{7}{90}

P(X=100, Y=1)_{} = \frac{1}{10} \cdot \frac{2}{9} = \frac{2}{90}}\)

[norwimaj]

Teraz masz dobre wyniki.

Po wyciągnięciu 1 losu przecież omegą będzie lsoowanie jednego elementu już z 9, a nie 10 ?

Których dziewięciu? Zapis \(\displaystyle{ P(B)}\) oznacza prawdopodobieństwo a priori zdarzenia \(\displaystyle{ B}\), a nie po wylosowaniu jednej z kul.

[whoknew]

Dziękuję za odpowiedź czy w takim razie poniższy zapis jest prawidłowy? (zmieniłam w mianowniku P(B) z 9 na 10) czy dobre były te z poprzedniego posta?

\(\displaystyle{ P(X=0, Y=0) _{} = \frac{7}{10 } \cdot \frac{6}{10} = \frac{42}{100}

P(X=0, Y=1)_{} = \frac{7}{10} \cdot \frac{2}{10} = \frac{14}{100}

P(X=0, Y=100)_{} = \frac{7}{10} \cdot \frac{1}{10} = \frac{7}{100}

P(X=1, Y=1)_{} = \frac{2}{10} \cdot \frac{1}{10} = \frac{2}{100}

P(X=1, Y=100)_{} = \frac{2}{10} \cdot \frac{1}{10} = \frac{2}{100}

P(X=1, Y=0)_{} = \frac{2}{10} \cdot \frac{7}{10} = \frac{14}{100}

P(X=100, Y=0)_{} = \frac{1}{10} \cdot \frac{7}{10} = \frac{7}{100}

P(X=100, Y=1)_{} = \frac{1}{10} \cdot \frac{2}{10} = \frac{2}{100}}\)

[norwimaj]

Nie. Tamto wcześniejsze było dobre. Wzór \(\displaystyle{ P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B|A)}\) jest dobry, a wzór \(\displaystyle{ P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)}\) zły.

[whoknew]

Dziękuję bardzo. Mam jeszcze jedno pytanie, w przypadku P(X=100, Y=100), jak policzyc prawdopodobienstwo wyciagniecia losu wygrywającego 100 zł za drugim razem, co jest zdarzeniem niemozliwym bo taki los jest tylko jeden? Czy jest to z miejsca 0?

[norwimaj]

Zdarzenie niemożliwe (czyli zbiór pusty) ma prawdopodobieństwo \(\displaystyle{ 0}\). Nie trzeba nic liczyć.