Suma zmiennych niezależnych rozkładu geometrycznego

[lamiee]

Mógłby mi ktoś pomóc z takim zadaniem?
Zmienne niezależne \(\displaystyle{ X _{i}}\)mają taki sam rozkład geometryczny. Znajdź rozkład zmiennej \(\displaystyle{ X_{1} + X_{2}}\) oraz \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n}X _{i}}\)

[norwimaj]

Rzucamy asymetryczną monetą aż do momentu, gdy po raz drugi (\(\displaystyle{ n}\)-ty) wypadnie orzeł. Znajdź rozkład liczby rzutów.

[lamiee]

\(\displaystyle{ X--(2+i,(1-p) ^{i}p ^{2}),(3+i, (1-p) ^{i}p ^{3}), ...}\)?? naprawde nie wiem...;/

[jsf]

Może sprecyzuję wskazówkę kolegi, bo to bardzo cenna wskazówka i szkoda, żebyś z niej nie skorzystał.

Rozkład geometryczny wyznacza czas oczekiwania na pierwszy sukces.
\(\displaystyle{ \mathbb{P}(X_{i}=k)=(1-p)^{k-1}p.}\)

Załóżmy, że orzeł wypada z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ p}\) i niech to będzie sukces.
\(\displaystyle{ X_{1},X_{2},...,X_{n}}\) to na przykład \(\displaystyle{ R,R,R,O,R,O,O,...,O,R,R,O.}\)

Gdzie oczywiście
\(\displaystyle{ X_{1}=4,\mbox{ bo to }R,R,R,O,}\)
\(\displaystyle{ X_{2}=2,\mbox{ bo to }R,O,}\)
\(\displaystyle{ X_{3}=1,\mbox{ bo to }O,}\)

\(\displaystyle{ ...}\)

\(\displaystyle{ X_{n}=3,\mbox{ bo to }R,R,O.}\)

Stąd już widać, że \(\displaystyle{ \mathbb{P}(X_{1}+X_{2}+...+X_{n}=k)}\) to prawdopodobieństwo...

PS. Na ostatnim miejscu stoi orzeł, więc prawdopodobieństwo tego zdarzenia to \(\displaystyle{ 1}\).

[lamiee]

Wiem, że ujemnego rozkładu dwumianowego, ale bardzie chodzi mi o formalne podejście do dowodu..
\(\displaystyle{ P(X _{1}+X_{2}=k)=P(X _{1}=i,X _{2}=k-i)= \sum_{i=1}^{k}(1-p) ^{i-1}p(1-p) ^{k-i-1}p= \sum_{i=1}^{k}p ^{2}(1-p)^{k-2}=kp ^{2}(1-p)^{k-2}}\) tak będzie??

[jsf]

Podejście zaproponowane przez norwimaja jest jak najbardziej formalne. Zmieniasz płaszczyznę probabilistyczną na inną, która ma te same właściwości.

Nauczyłem się dzięki Tobie nowego rozkładu, za co dziękuję. Powinno Ci wyjść to, co wychodzi w Uwadze w ... dwumianowy. W sumie tak wypieściłem swojego poprzedniego posta, że już chyba naprawdę od razu widać wynik.