Mógłby mi ktoś pomóc z takim zadaniem?
Zmienne niezależne \(\displaystyle{ X _{i}}\)mają taki sam rozkład geometryczny. Znajdź rozkład zmiennej \(\displaystyle{ X_{1} + X_{2}}\) oraz \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n}X _{i}}\)
Suma zmiennych niezależnych rozkładu geometrycznego
-
- Użytkownik
- Posty: 5101
- Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 1001 razy
Suma zmiennych niezależnych rozkładu geometrycznego
Rzucamy asymetryczną monetą aż do momentu, gdy po raz drugi (\(\displaystyle{ n}\)-ty) wypadnie orzeł. Znajdź rozkład liczby rzutów.
-
- Użytkownik
- Posty: 14
- Rejestracja: 24 lut 2012, o 21:14
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: kraków
- Podziękował: 1 raz
Suma zmiennych niezależnych rozkładu geometrycznego
\(\displaystyle{ X--(2+i,(1-p) ^{i}p ^{2}),(3+i, (1-p) ^{i}p ^{3}), ...}\)?? naprawde nie wiem...;/
- jsf
- Użytkownik
- Posty: 44
- Rejestracja: 3 wrz 2012, o 18:32
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Komorów k. W-wy
- Pomógł: 17 razy
Suma zmiennych niezależnych rozkładu geometrycznego
Może sprecyzuję wskazówkę kolegi, bo to bardzo cenna wskazówka i szkoda, żebyś z niej nie skorzystał.
Rozkład geometryczny wyznacza czas oczekiwania na pierwszy sukces.
\(\displaystyle{ \mathbb{P}(X_{i}=k)=(1-p)^{k-1}p.}\)
Załóżmy, że orzeł wypada z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ p}\) i niech to będzie sukces.
\(\displaystyle{ X_{1},X_{2},...,X_{n}}\) to na przykład \(\displaystyle{ R,R,R,O,R,O,O,...,O,R,R,O.}\)
Gdzie oczywiście
\(\displaystyle{ X_{1}=4,\mbox{ bo to }R,R,R,O,}\)
\(\displaystyle{ X_{2}=2,\mbox{ bo to }R,O,}\)
\(\displaystyle{ X_{3}=1,\mbox{ bo to }O,}\)
\(\displaystyle{ ...}\)
\(\displaystyle{ X_{n}=3,\mbox{ bo to }R,R,O.}\)
Stąd już widać, że \(\displaystyle{ \mathbb{P}(X_{1}+X_{2}+...+X_{n}=k)}\) to prawdopodobieństwo...
PS. Na ostatnim miejscu stoi orzeł, więc prawdopodobieństwo tego zdarzenia to \(\displaystyle{ 1}\).
Rozkład geometryczny wyznacza czas oczekiwania na pierwszy sukces.
\(\displaystyle{ \mathbb{P}(X_{i}=k)=(1-p)^{k-1}p.}\)
Załóżmy, że orzeł wypada z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ p}\) i niech to będzie sukces.
\(\displaystyle{ X_{1},X_{2},...,X_{n}}\) to na przykład \(\displaystyle{ R,R,R,O,R,O,O,...,O,R,R,O.}\)
Gdzie oczywiście
\(\displaystyle{ X_{1}=4,\mbox{ bo to }R,R,R,O,}\)
\(\displaystyle{ X_{2}=2,\mbox{ bo to }R,O,}\)
\(\displaystyle{ X_{3}=1,\mbox{ bo to }O,}\)
\(\displaystyle{ ...}\)
\(\displaystyle{ X_{n}=3,\mbox{ bo to }R,R,O.}\)
Stąd już widać, że \(\displaystyle{ \mathbb{P}(X_{1}+X_{2}+...+X_{n}=k)}\) to prawdopodobieństwo...
PS. Na ostatnim miejscu stoi orzeł, więc prawdopodobieństwo tego zdarzenia to \(\displaystyle{ 1}\).
Ostatnio zmieniony 14 wrz 2012, o 16:55 przez jsf, łącznie zmieniany 1 raz.
-
- Użytkownik
- Posty: 14
- Rejestracja: 24 lut 2012, o 21:14
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: kraków
- Podziękował: 1 raz
Suma zmiennych niezależnych rozkładu geometrycznego
Wiem, że ujemnego rozkładu dwumianowego, ale bardzie chodzi mi o formalne podejście do dowodu..
\(\displaystyle{ P(X _{1}+X_{2}=k)=P(X _{1}=i,X _{2}=k-i)= \sum_{i=1}^{k}(1-p) ^{i-1}p(1-p) ^{k-i-1}p= \sum_{i=1}^{k}p ^{2}(1-p)^{k-2}=kp ^{2}(1-p)^{k-2}}\) tak będzie??
\(\displaystyle{ P(X _{1}+X_{2}=k)=P(X _{1}=i,X _{2}=k-i)= \sum_{i=1}^{k}(1-p) ^{i-1}p(1-p) ^{k-i-1}p= \sum_{i=1}^{k}p ^{2}(1-p)^{k-2}=kp ^{2}(1-p)^{k-2}}\) tak będzie??
- jsf
- Użytkownik
- Posty: 44
- Rejestracja: 3 wrz 2012, o 18:32
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Komorów k. W-wy
- Pomógł: 17 razy
Suma zmiennych niezależnych rozkładu geometrycznego
Podejście zaproponowane przez norwimaja jest jak najbardziej formalne. Zmieniasz płaszczyznę probabilistyczną na inną, która ma te same właściwości.
Nauczyłem się dzięki Tobie nowego rozkładu, za co dziękuję. Powinno Ci wyjść to, co wychodzi w Uwadze w ... dwumianowy. W sumie tak wypieściłem swojego poprzedniego posta, że już chyba naprawdę od razu widać wynik.
Nauczyłem się dzięki Tobie nowego rozkładu, za co dziękuję. Powinno Ci wyjść to, co wychodzi w Uwadze w ... dwumianowy. W sumie tak wypieściłem swojego poprzedniego posta, że już chyba naprawdę od razu widać wynik.